Encuentre todos los números primos $ p,q < 2005$ tales que $ q | p^{2} + 8$ y $ p|q^{2} + 8.$

El punto interior $ X$ de un cuadrilátero es observable desde el lado $ YZ$ si la perpendicular a la línea $ YZ$ lo encuentra en el intervalo cerrado $ [YZ].$ El punto interior de un cuadrilátero es un punto $ k-$ si es observable desde exactamente $ k$ lados del cuadrilátero. Pruebe que si un cuadrilátero convexo tiene un 1-punto entonces tiene un punto $ k-$ para cada $ k=2,3,4.$

Para los números reales positivos $ a,b,c$ pruebe que \[ \frac c{a + 2b} + \frac d{b + 2c} + \frac a{c + 2d} + \frac b{d + 2a} \geq \frac 43.\ ]

Sea SABC una pirámide triangular regular. Encuentre el conjunto de todos los puntos $ D (D! = S)$ en el espacio que satisfacen la ecuación $ |cos ASD - 2cosBSD - 2 cos CSD| = 3$ .

Sea $ r$ un número real tal que la secuencia $ (a_{n})_{n\geq 1}$ de números reales positivos satisface la ecuación $ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{m + 1} \leq r a_{m}$ para cada entero positivo $ m$ . Pruebe que $ r \geq 4$ .

Pruebe que la ecuación $ x^{5} + 31 = y^{2}$ no tiene solución entera.

Encuentre todos los números primos $ p,q$ menores que 2005 y tales que $ q|p^2 + 4$ , $ p|q^2 + 4$ .

Sea el círculo $ (I; r)$ inscrito en el triángulo $ ABC$ . Sea $ D$ el punto de contacto de este círculo con $ BC$ . Sean $ E$ y $ F$ los puntos medios de $ BC$ y $ AD$ , respectivamente. Pruebe que los tres puntos $ I$ , $ E$ , $ F$ son colineales.

Para los números reales positivos $ a,b,c$ pruebe la desigualdad\n\[ \frac {c}{a + 2b} + \frac {a}{b + 2c} + \frac {b}{c + 2a}\ge1.\ ]

Sea $ A$ un conjunto de $ 2n$ puntos en el plano tal que no hay tres puntos colineales. Pruebe que para cualquier par de puntos distintos $ a,b\in A$ existe una línea que divide a $ A$ en dos subconjuntos, cada uno con $ n$ puntos y tal que $ a,b$ se encuentran en lados diferentes de la línea.