Sean $ m,n$ enteros tales que $ 0\le m\le 2n$ . Entonces pruebe que el número $ 2^{2n + 2} + 2^{m + 2} + 1$ es un cuadrado perfecto si y solo si $ m = n$ .

Los 40 cuadrados unitarios de la tabla de 9 x 9 (ver abajo) están etiquetados. La fila horizontal o vertical de 9 cuadrados unitarios es buena si tiene más cuadrados unitarios etiquetados que sin etiquetar. ¿Cuántas filas buenas (horizontales y verticales) en total podría tener la tabla?

Sea $ p$ un número primo impar. ¿Cuántos subconjuntos de $ p$ elementos $ A$ de $ \{1,2,\dots,2p\}$ hay, la suma de cuyos elementos es divisible por $ p$ ?

Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo con $ AB = BC = CD$ y $ DE = EF = FA$ , tal que $ \angle BCD = \angle EFA = \frac {\pi}{3}$ . Suponga que $ G$ y $ H$ son puntos en el interior del hexágono tales que $ \angle AGB = \angle DHE = \frac {2\pi}{3}$ . Demuestre que $ AG + GB + GH + DH + HE \geq CF$ .

Sea $ n$ un entero , $ n \geq 3.$ Sean $ x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales tales que $ x_i < x_{i+1}$ para $ 1 \leq i \leq n - 1$ . Demuestra que \[ \frac{n(n-1)}{2} \sum_{i < j} x_ix_j > \left(\sum^{n-1}_{i=1} (n-i)\cdot x_i \right) \cdot \left(\sum^{n}_{j=2} (j-1) \cdot x_j \right)\]

Determinar todos los enteros $ n > 3$ para los cuales existen $ n$ puntos $ A_{1},\cdots ,A_{n}$ en el plano, no tres colineales, y números reales $ r_{1},\cdots ,r_{n}$ tales que para $ 1\leq i < j < k\leq n$ , el área de $ \triangle A_{i}A_{j}A_{k}$ es $ r_{i} + r_{j} + r_{k}$ .

Sea $ \mathbb{Z}$ el conjunto de todos los enteros. Demostrar que para cualesquiera enteros $ A$ y $ B,$ se puede encontrar un entero $ C$ para el cual $ M_1 = \{x^2 + Ax + B : x \in \mathbb{Z}\}$ y $ M_2 = {2x^2 + 2x + C : x \in \mathbb{Z}}$ no se intersecan.

Sea $ k$ un entero positivo. Demostrar que existen infinitos cuadrados perfectos de la forma $ n \cdot 2^k - 7$ donde $ n$ es un entero positivo.

Las celdas de una matriz cuadrada de $2011 \times 2011$ están etiquetadas con los enteros $1,2,\ldots, 2011^2$ , de tal manera que cada etiqueta se usa exactamente una vez. Luego identificamos los bordes izquierdo y derecho, y luego la parte superior e inferior, de la manera normal para formar un toro (la superficie de una dona). Determine el entero positivo más grande $M$ tal que, sin importar qué etiquetado elijamos, existen dos celdas vecinas con la diferencia de sus etiquetas al menos $M$ . (Las celdas con coordenadas $(x,y)$ e $(x',y')$ se consideran vecinas si $x=x'$ e $y-y'\equiv\pm1\pmod{2011}$ , o si $y=y'$ e $x-x'\equiv\pm1\pmod{2011}$ . )

Para cada $n\geq 3$ , determine todas las configuraciones de $n$ puntos distintos $X_1,X_2,\ldots,X_n$ en el plano, con la propiedad de que para cualquier par de puntos distintos $X_i$ , $X_j$ existe una permutación $\sigma$ de los enteros $\{1,\ldots,n\}$ , tal que $\textrm{d}(X_i,X_k) = \textrm{d}(X_j,X_{\sigma(k)})$ para todo $1\leq k \leq n$ . (Escribimos $\textrm{d}(X,Y)$ para denotar la distancia entre los puntos $X$ e $Y$ . )