Dado un entero positivo $\displaystyle n = \prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}$ , escribimos $\Omega(n)$ para el número total $\displaystyle \sum_{i=1}^s \alpha_i$ de factores primos de $n$ , contados con multiplicidad. Sea $\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$ (entonces, por ejemplo, $\lambda(12)=\lambda(2^2\cdot3^1)=(-1)^{2+1}=-1$ ) . Demuestre las siguientes dos afirmaciones: i) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\lambda(n) = \lambda(n+1) = +1$ ; ii) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\lambda(n) = \lambda(n+1) = -1$ .

Un triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo $\omega$ . Una línea variable $\ell$ elegida paralela a $BC$ se encuentra con los segmentos $AB$ , $AC$ en los puntos $D$ , $E$ respectivamente, y se encuentra con $\omega$ en los puntos $K$ , $L$ (donde $D$ se encuentra entre $K$ y $E$ ) . El círculo $\gamma_1$ es tangente a los segmentos $KD$ y $BD$ y también tangente a $\omega$ , mientras que el círculo $\gamma_2$ es tangente a los segmentos $LE$ y $CE$ y también tangente a $\omega$ . Determinar el lugar geométrico, a medida que $\ell$ varía, del punto de encuentro de las tangentes internas comunes a $\gamma_1$ y $\gamma_2$ .

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales, con las siguientes propiedades: (1) para cada entero $k$ , el número $f(k)$ es un entero si y solo si $k$ no es divisible por $n$ ; (2) el grado de $f$ es menor que $n$ .

Demostrar que existen dos funciones $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , tales que $f\circ g$ es estrictamente decreciente y $g\circ f$ es estrictamente creciente.

La expresión \[ \pm \Box \pm \Box \pm \Box \pm \Box \pm \Box \pm \Box \] está escrita en la pizarra. Dos jugadores, $ A $ y $ B $ , juegan un juego, turnándose. El jugador $ A $ toma el primer turno. En cada turno, el jugador en turno reemplaza un símbolo $ \Box $ por un entero positivo. Después de que todos los símbolos $\Box$ son reemplazados, el jugador $A$ reemplaza cada uno de los signos $\pm$ por + o -, independientemente uno del otro. El jugador $ A $ gana si el valor de la expresión en la pizarra no es divisible por ninguno de los números $ 11, 12, \cdots, 18 $ . De lo contrario, el jugador $ B$ gana. Determina qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Los números del 1 al $ 2013^2 $ se escriben fila por fila en una tabla que consiste en $ 2013 \times 2013 $ celdas. Posteriormente, todas las columnas y todas las filas que contienen al menos uno de los cuadrados perfectos $ 1, 4, 9, \cdots, 2013^2 $ se eliminan simultáneamente. ¿Cuántas celdas permanecen?

Sea $K$ un punto dentro de un triángulo acutángulo $ ABC $ , tal que $ BC $ es una tangente común de las circunferencias circunscritas de $ AKB $ y $ AKC$ . Sea $ D $ la intersección de las líneas $ CK $ y $ AB $ , y sea $ E $ la intersección de las líneas $ BK $ y $ AC $ . Sea $ F $ la intersección de la línea $BC$ y la bisectriz perpendicular del segmento $DE$ . La circunferencia circunscrita de $ABC$ y el círculo $k$ con centro $ F$ y radio $FD$ se intersecan en los puntos $P$ y $Q$ . Demuestra que el segmento $PQ$ es un diámetro de $k$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Construye un triángulo $PQR$ tal que $ AB = 2PQ $ , $ BC = 2QR $ , $ CA = 2 RP $ , y las líneas $ PQ, QR,$ y $RP$ pasan a través de los puntos $ A, B , $ y $ C $ , respectivamente. (Todos los seis puntos $ A, B, C, P, Q, $ y $ R $ son distintos.)

Considera finitamente muchos puntos en el plano sin tres puntos en una línea. Todos estos puntos se pueden colorear de rojo o verde de tal manera que cualquier triángulo con vértices del mismo color contenga al menos un punto del otro color en su interior. ¿Cuál es el número máximo posible de puntos con esta propiedad?

Hay $n \ge 2$ casas en el lado norte de una calle. Yendo desde el oeste hacia el este, las casas están numeradas del 1 al $n$ . El número de cada casa se muestra en una placa. Un día los habitantes de la calle se burlan del cartero mezclando sus placas de números de la siguiente manera: para cada par de casas vecinas, las placas de números actuales se intercambian exactamente una vez durante el día. ¿Cuántas secuencias diferentes de placas de números son posibles al final del día?