Sean $ x, y, z, w $ números reales no nulos tales que $ x+y \ne 0$ , $ z+w \ne 0 $ , y $ xy+zw \ge 0 $ . Demuestra que \[ \left( \frac{x+y}{z+w} + \frac{z+w}{x+y} \right) ^{-1} + \frac{1}{2} \ge \left( \frac{x}{z} + \frac{z}{x} \right) ^{-1} + \left( \frac{y}{w} + \frac{w}{y} \right) ^{-1}\]

Encuentra todas las funciones $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tales que \[ f( xf(x) + 2y) = f(x^2)+f(y)+x+y-1 \] se cumple para todo $ x, y \in \mathbb{R}$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BA\neq BC$. Denotemos los incírculos de los triángulos $ABC$ y $ADC$ por $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ respectivamente. Suponga que existe un círculo $ \omega$ tangente al rayo $BA$ más allá de $A$ y al rayo $BC$ más allá de $C$, que también es tangente a las líneas $AD$ y $CD$. Demuestre que las tangentes externas comunes a $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ se intersecan en $ \omega$.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos con $k \geq n$ y $k - n$ un número par. Se dan $2n$ lámparas etiquetadas $1$, $2$, ..., $2n$, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Consideramos secuencias de pasos: en cada paso se conmuta una de las lámparas (de encendida a apagada o de apagada a encendida). Sea $N$ el número de tales secuencias que consisten en $k$ pasos y que resultan en el estado donde las lámparas $1$ a $n$ están todas encendidas, y las lámparas $n + 1$ a $2n$ están todas apagadas. Sea $M$ el número de tales secuencias que consisten en $k$ pasos, que resultan en el estado donde las lámparas $1$ a $n$ están todas encendidas, y las lámparas $n + 1$ a $2n$ están todas apagadas, pero donde ninguna de las lámparas $n + 1$ a $2n$ se enciende nunca. Determine $ \frac {N}{M}$ .

Encuentre todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ (de modo que $f$ es una función de los números reales positivos) tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ que satisfacen $ wx = yz.$

Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^{2} + 1$ tiene un divisor primo mayor que $2n + \sqrt {2n}$.

(a) Demuestre que \[\frac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \frac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq 1\] para todos los números reales $x$, $y$, $z$, cada uno diferente de $1$, y que satisfacen $xyz=1$. \n(b) Demuestre que la igualdad se cumple arriba para infinitas ternas de números racionales $x$, $y$, $z$, cada uno diferente de $1$, y que satisfacen $xyz=1$.

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La circunferencia $ \Gamma_{A}$ con centro en el punto medio de $BC$ y que pasa por $H$ interseca al lado $BC$ en los puntos $A_{1}$ y $A_{2}$. Similarmente, se definen los puntos $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$ y $C_{2}$. Demuestre que los seis puntos $A_{1}$, $A_{2}$, $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$ y $C_{2}$ son concíclicos.

Cuando los números naturales se escriben uno tras otro de manera creciente, se obtiene una sucesión infinita de dígitos $123456789101112 ....$ Denotamos $A_k$ el número formado por los primeros $k$ dígitos de esta secuencia. Demostrar que para todo entero positivo $n$ existe un entero positivo $m$ que verifica simultáneamente las siguientes tres condiciones: (i) $n$ divide a $A_m$, (ii) $n$ divide a $m$, (iii) $n$ divide a la suma de los dígitos de $A_m$.

Inicialmente se tiene el número $0$ en cada celda de la tabla $29 \times 29$. Un movimiento es cuando uno elige una sub-tabla $5 \times 5$ y suma $+1$ a cada celda de esta sub-tabla. Encontrar el valor máximo de $n$, donde después de $1000$ movimientos, hay $4$ celdas tales que sus centros son vértices de un cuadrado y la suma de estas $4$ celdas es al menos $n$. Nota: Un cuadrado no tiene, necesariamente, sus lados paralelos con los lados de la tabla.