Sea $c > 1$ un número real. Una función $f: [0 ,1 ] \to R$ se llama c-amigable si $f(0) = 0, f(1) = 1$ y $|f(x) -f(y)| \le c|x - y|$ para todos los números $x ,y \in [0,1]$. Encontrar el máximo de la expresión $|f(x) - f(y)|$ para todas las funciones c-amigables $f$ y para todos los números $x,y \in [0,1]$.

Sea $A B C$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$ y ortocentro $H$. Sea $M$ el punto medio de $BC, N$ el simétrico de $H$ con respecto a $A, P$ el punto medio de $NM$ y $X$ un punto en la línea A H tal que $MX$ es paralelo a $CH$. Demostrar que $BX$ y $OP$ son perpendiculares.

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen números reales positivos $x,y$ y $z$ tales que $\sqrt x +\sqrt y +\sqrt z=1$ y $\sqrt{x+n} +\sqrt{y+n} +\sqrt{z+n}$ es un entero.

Ana y Beto juegan uno contra otro. Inicialmente, Ana elige un entero no negativo $N$ y se lo anuncia a Beto. Luego Beto escribe una sucesión de $2016$ números, $1008$ de ellos iguales a $1$ y $1008$ de ellos iguales a $-1$. Una vez hecho esto, Ana debe dividir la sucesión en varios bloques de términos consecutivos (cada término pertenece a exactamente un bloque), y calcular la suma de los números de cada bloque. Finalmente, sumar los cuadrados de los números calculados. Si esta suma es igual a $N$, Ana gana. Si no, Beto gana. Determinar todos los valores de $N$ para los cuales Ana puede asegurar la victoria, sin importar cómo juegue Beto.

Sea $K$ un polígono convexo en el plano y supón que $K$ está posicionado en el sistema de coordenadas de tal manera que \n\[\text{área } (K \cap Q_i) =\frac 14 \text{área } K \ (i = 1, 2, 3, 4, ),\] donde los $Q_i$ denotan los cuadrantes del plano. Demuestra que si $K$ no contiene ningún punto reticular no nulo, entonces el área de $K$ es menor que $4.$

Sean $f(x) = ax^2 + bx+ c$ y $g(x) = cx^2 + bx + a$ . Si $|f(0)| \leq 1, |f(1)| \leq 1, |f(-1)| \leq 1$ , demuestra que para $|x| \leq 1$ , (a) $|f(x)| \leq 5/4$ , (b) $|g(x)| \leq 2$ .

Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$ . Sea $L$ un camino dentro de $S$ que no se cruza a sí mismo y que está compuesto por segmentos de recta $A_0A_1,A_1A_2,A_2A_3,\ldots,A_{n-1}A_n$ con $A_0=A_n$ . Supón que para cada punto $P$ en el borde de $S$ existe un punto de $L$ a una distancia de $P$ no mayor que $\frac {1} {2}$ . Demuestra que existen dos puntos $X$ e $Y$ de $L$ tales que la distancia entre $X$ e $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que se encuentra entre $X$ e $Y$ no es menor que $198$ .

Los triángulos rectángulos $ABC$ y $AB_1C_1$ son semejantes y tienen orientación opuesta. Los ángulos rectos están en $C$ y $C_1$ , y también tenemos $ \angle CAB = \angle C_1AB_1$ . Sea $M$ el punto de intersección de las rectas $BC_1$ y $B_1C$ . Demuestra que si las rectas $AM$ y $CC_1$ existen, son perpendiculares.

Considera las sucesiones infinitas $\{x_n\}$ de números reales positivos tales que $x_0=1$ y $x_0\ge x_1\ge x_2\ge\ldots$ . \na) Demuestra que para cada sucesión de este tipo existe un $n\ge1$ tal que: \n\[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}\ge3.999. \]\nb) Encuentra una sucesión de este tipo tal que para todo $n$ : \n\[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}<4. \]

Se nos dan $2n$ números naturales \[1, 1, 2, 2, 3, 3, \ldots, n - 1, n - 1, n, n.\] Encuentre todos los $n$ para los cuales estos números se pueden organizar en una fila de tal manera que para cada $k \leq n$ , haya exactamente $k$ números entre los dos números $k$ .