Sean n números $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elegidos de tal manera que $1 \geq x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \geq 0$ . Demuestre que \[(1 + x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^\alpha \leq 1 + x_1^\alpha+ 2^{\alpha-1}x_2^\alpha+ \cdots+ n^{\alpha-1}x_n^\alpha\] si $0 \leq \alpha \leq 1$ .

Sea $O$ el punto medio del eje de un cilindro circular recto. Sean $A$ y $B$ puntos diametralmente opuestos de una base, y $C$ un punto del otro círculo base que no pertenece al plano $OAB$ . Demuestre que la suma de los ángulos diedros del triedro $OABC$ es igual a $2\pi$ .

Simplificar \[\sum_{k=0}^n \frac{(2n)!}{(k!)^2((n-k)!)^2}.\]

Dada una secuencia finita de números complejos $c_1, c_2, \ldots , c_n$ , demuestre que existe un entero $k$ ( $1 \leq k \leq n$ ) tal que para cada secuencia finita $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de números reales con $1 \geq a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq 0$ , se cumple la siguiente desigualdad: \[\left| \sum_{m=1}^n a_mc_m \right| \leq \left| \sum_{m=1}^k c_m \right|.\]

Evalúe $\sec'' \frac{\pi}4 +\sec'' \frac{3\pi}4+\sec'' \frac{5\pi}4+\sec'' \frac{7\pi}4$ . (Aquí $\sec''$ significa la segunda derivada de $\sec$ ).

Demuestre que si se dibuja una diagonal en un cuadrilátero inscrito en un círculo, la suma de los radios de los círculos inscritos en los dos triángulos así formados es la misma, sin importar qué diagonal se dibuje.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y dibuje triángulos regulares $ABM, CDP, BCN, ADQ$, los dos primeros hacia afuera y los otros dos hacia adentro. Pruebe que $MN = AC$. ¿Qué se puede decir sobre el cuadrilátero $MNPQ$?

Sean $A$ y $B$ las posiciones de dos barcos $M$ y $N$, respectivamente, en el momento en que $N$ vio a $M$ moverse con velocidad constante $v$ siguiendo la línea $Ax$. En busca de ayuda, $N$ se mueve con velocidad $kv$ ( $k < 1$ ) a lo largo de la línea $By$ para encontrarse con $M$ lo antes posible. Denote por $C$ el punto de encuentro de los dos barcos, y establezca \[AB = d, \angle BAC = \alpha, 0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2}.\] Determine el ángulo $\angle ABC = \beta$ y el tiempo $t$ que $N$ necesita para encontrarse con $M$.

¿Cuál es el número máximo de ángulos agudos en un polígono convexo?

Sea $\mathfrak F$ la familia de todos los subconjuntos de $k$ elementos del conjunto $\{1, 2, \ldots, 2k + 1\}$. Demuestra que existe una función biyectiva $f :\mathfrak F \to \mathfrak F$ tal que para cada $A \in \mathfrak F$, los conjuntos $A$ y $f(A)$ son disjuntos.