Una figura convexa y cerrada se encuentra dentro de un círculo dado. La figura se ve desde cada punto de la circunferencia en ángulo recto (es decir, los dos rayos trazados desde el punto y que sostienen la figura convexa son perpendiculares). Demuestra que el centro del círculo es un centro de simetría de la figura.

Consideramos un juego en un tablero de ajedrez infinito similar al del solitario: Si dos campos adyacentes están ocupados por peones y el siguiente campo está vacío (los tres campos se encuentran en una línea vertical u horizontal), entonces podemos quitar estos dos peones y colocar uno de ellos en el tercer campo. Demuestra que si en la posición inicial los peones llenan un rectángulo de $3k \times n$, entonces es imposible alcanzar una posición con un solo peón en el tablero.

Sea $S$ el círculo unitario con centro $O$ y sean $P_1, P_2,\ldots, P_n$ puntos de $S$ tales que la suma de los vectores $v_i=\stackrel{\longrightarrow}{OP_i}$ es el vector cero. Demuestra que la desigualdad $\sum_{i=1}^n XP_i \geq n$ se cumple para cada punto $X$.

Se definen los números $u_{n,k} \ (1\leq k \leq n)$ como sigue: \[u_{1,1}=1, \quad u_{n,k}=\binom{n}{k} - \sum_{d \mid n, d \mid k, d>1} u_{n/d, k/d}.\] (se define la suma vacía como igual a cero). Demuestra que $n \mid u_{n,k}$ para cada número natural $n$ y para cada $k \ (1 \leq k \leq n).$

Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ están divididas por los puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de modo que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determine $r$ si $B,M$ y $N$ son colineales.

Un triángulo no isósceles $A_{1}A_{2}A_{3}$ tiene lados $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ con el lado $a_{i}$ opuesto al vértice $A_{i}$ . Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$ , y sea $T_{i}$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca el lado $a_{i}$ . Denotemos por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ en la bisectriz del ángulo interior del ángulo $A_{i}$ . Demuestre que las líneas $M_{1}S_{1}$ , $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

Si el inradio de un triángulo es la mitad de su circunradio, demuestre que el triángulo es equilátero.

Sea $M$ el conjunto de todas las funciones $f$ con las siguientes propiedades: (i) $f$ está definida para todos los números reales y toma solo valores reales. (ii) Para todos $x, y \in \mathbb R$ la siguiente igualdad se cumple: $f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y).$ (iii) $f(0) \neq 0.$ Determine todas las funciones $f \in M$ tales que (a) $f(1)=\frac 52$ , (b) $f(1)= \sqrt 3$ .

La función $f(n)$ está definida en los enteros positivos y toma valores enteros no negativos. $f(2)=0, f(3)>0, f(9999)=3333$ y para todos $m,n:$ \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ o } 1. \] Determine $f(1982)$ .

Pruebe que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación $ x^3-3xy^2+y^3=n $ tiene una solución en enteros $x,y$, entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Demuestre que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$.