Sea $ABC$ un triángulo, y sea $P$ un punto en su interior tal que $\angle PAC = \angle PBC$. Las perpendiculares desde $P$ a $BC$ y $CA$ se encuentran con estas líneas en $L$ y $M$, respectivamente, y $D$ es el punto medio de $AB$. Demuestre que $DL = DM.$

Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función continua. Suponga que la restricción de $f$ al conjunto de los números irracionales es inyectiva. ¿Qué podemos decir sobre $f$? Responda a la pregunta análoga si $f$ está restringida a los racionales.

Sea $(u_1, \ldots, u_n)$ una $n$-tupla ordenada. Para cada $k, 1 \leq k \leq n$, defina $v_k=\sqrt[k]{u_1u_2 \cdots u_k}$. Pruebe que $\sum_{k=1}^n v_k \leq e \cdot \sum_{k=1}^n u_k$. ( $e$ es la base del logaritmo natural).

Sea $O$ un punto del espacio tridimensional y sean $l_1, l_2, l_3$ rectas mutuamente perpendiculares que pasan por $O$. Sea $S$ la esfera con centro $O$ y radio $R$, y para cada punto $M$ de $S$, sea $S_M$ la esfera con centro $M$ y radio $R$. Denotamos por $P_1, P_2, P_3$ la intersección de $S_M$ con las rectas $l_1, l_2, l_3$, respectivamente, donde ponemos $P_i \neq O$ si $l_i$ se encuentra con $S_M$ en dos puntos distintos y $P_i = O$ en caso contrario ( $i = 1, 2, 3$ ). ¿Cuál es el conjunto de centros de gravedad de los triángulos (posiblemente degenerados) $P_1P_2P_3$ cuando $M$ recorre los puntos de $S$?

Sean $(a_n)_{n\geq0}$ y $(b_n)_{n \geq 0}$ dos secuencias de números naturales. Determine si existe un par $(p, q)$ de números naturales que satisfagan\n\[p < q \quad \text{ y } \quad a_p \leq a_q, b_p \leq b_q.\]

Se dan cuatro círculos distintos $C,C_1, C_2$ , $C_3$ y una línea $L$ en el plano tales que $C$ y $L$ son disjuntos y cada uno de los círculos $C_1, C_2, C_3$ toca a los otros dos, así como a $C$ y $L$ . Asumiendo que el radio de $C$ es $1$ , determine la distancia entre su centro y $L$.

Demuestre que si una persona $a$ tiene infinitos descendientes (hijos, sus hijos, etc.), entonces $a$ tiene una secuencia infinita $a_0, a_1, \ldots$ de descendientes (es decir, $a = a_0$ y para todo $n \geq 1, a_{n+1}$ es siempre un hijo de $a_n$ ) . Se asume que nadie puede tener infinitos hijos. Variante 1 . Demuestre que si $a$ tiene infinitos ancestros, entonces $a$ tiene una secuencia descendente infinita de ancestros (es decir, $a_0, a_1, \ldots$ donde $a = a_0$ y $a_n$ es siempre un hijo de $a_{n+1}$ ) . Variante 2. Demuestre que si alguien tiene infinitos ancestros, entonces todas las personas no pueden descender de $A(dán)$ y $E(va)$ .

Determine la suma de todos los enteros positivos cuyos dígitos (en base diez) forman una secuencia estrictamente creciente o una secuencia estrictamente decreciente.

Sea $M$ el conjunto de números reales de la forma $\frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Demuestre que para cada par $x \in M, y \in M$ con $x < y$ , existe un elemento $z \in M$ tal que $x < z < y$.

Todos los bordes y todas las diagonales del hexágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ están coloreados de azul o rojo de tal manera que cada triángulo $A_jA_kA_m, 1 \leq j < k < m\leq 6$ tiene al menos un borde rojo. Sea $R_k$ el número de segmentos rojos $A_kA_j, (j \neq k)$ . Demuestre la desigualdad \[\sum_{k=1}^6 (2R_k-7)^2 \leq 54.\]