Considere un cubo $C$ y dos planos $\sigma, \tau$ , que dividen el espacio euclidiano en varias regiones. Demuestre que el interior de al menos una de estas regiones se encuentra con al menos tres caras del cubo.

Demuestre que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo $1 \neq s > 0$ real y $0 < a \leq 1$ racional.

Se le da un sistema algebraico que admite la adición y la multiplicación para el cual todas las leyes de la aritmética ordinaria son válidas excepto la conmutatividad de la multiplicación. Demuestre que \[(a + ab^{-1} a)^{-1}+ (a + b)^{-1} = a^{-1},\] donde $x^{-1}$ es el elemento para el cual $x^{-1}x = xx^{-1} = e$ , donde $e$ es el elemento del sistema tal que para todo $a$ la igualdad $ea = ae = a$ se cumple.

Encuentra la reordenación $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentra la reordenación que minimiza $Q.$

Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros con coeficiente principal $1$ y con una de sus raíces igual al producto de las otras dos. Demuestre que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1)+p(-1)-2(1+p(0)).$

Demuestre que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no se puede escribir como la suma de dos recíprocos de números naturales ( $S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualquier } p, q \in \mathbb N \right\}$ ) no es la unión de un número finito de progresiones aritméticas.

Determine todos los valores reales del parámetro $a$ para los cuales la ecuación $16x^4 -ax^3 + (2a + 17)x^2 -ax + 16 = 0$ tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica.

Una pirámide truncada $n$ - gonal regular está circunscrita alrededor de una esfera. Denote las áreas de la base y las superficies laterales de la pirámide por $S_1, S_2$ , y $S$ , respectivamente. Sea $\sigma$ el área del polígono cuyos vértices son los puntos tangenciales de la esfera y las caras laterales de la pirámide. Demuestre que $\sigma S = 4S_1S_2 \cos^2 \frac{\pi}{n}.$

Sean $3399$ números elegidos arbitrariamente entre los primeros $6798$ enteros $1, 2, \ldots , 6798$ de tal manera que ninguno de ellos divide a otro. Demuestre que hay exactamente $1982$ números en $\{1, 2, \ldots, 6798\}$ que deben terminar siendo elegidos.

Una mesa de billar rectangular tiene un agujero en cada una de las tres esquinas. Las longitudes de los lados de la mesa son los números reales $a$ y $b$. Se dispara una bola de billar desde la cuarta esquina a lo largo de su bisectriz de ángulo. La bola cae en uno de los agujeros. ¿Cuál debería ser la relación entre $a$ y $b$ para que esto suceda?