Sean $r_1, \ldots , r_n$ los radios de $n$ esferas. Llame $S_1, S_2, \ldots , S_n$ a las áreas del conjunto de puntos de cada esfera desde donde no se puede ver ningún punto de ninguna otra esfera. Demuestra que \[\frac{S_1}{r_1^2} + \frac{S_2}{r_2^2}+\cdots+\frac{S_n}{r_n^2} = 4 \pi.\]

Dados dos números reales $\alpha$ y $\beta , 0 \leq \alpha < \beta \leq 1$ , demuestra que existe un número natural $m$ tal que \[\alpha < \frac{\phi(m)}{m} < \beta.\]

Una caja contiene $p$ bolas blancas y $q$ bolas negras. Al lado de la caja hay una pila de bolas negras. Se sacan dos bolas de la caja. Si tienen el mismo color, se coloca una bola negra de la pila en la caja. Si tienen colores diferentes, la bola blanca se vuelve a colocar en la caja. Este procedimiento se repite hasta que las dos últimas bolas se retiran de la caja y se coloca una última bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca?

Encuentra todas las soluciones $(x, y) \in \mathbb Z^2$ de la ecuación \[x^3 - y^3 = 2xy + 8.\]

En las tres líneas distintas $a, b$ , y $c$ se dan tres puntos $A, B$ , y $C$ , respectivamente. Construir tres puntos colineales $X, Y,Z$ en las líneas $a, b, c$ , respectivamente, tal que $\frac{BY}{AX} = 2$ y $ \frac{CZ}{AX} = 3$ .

Entre todos los triángulos con un perímetro dado, encontrar aquel con el radio máximo de su incírculo.

(a) Encontrar la reordenación $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza $a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.$\n(b) Encontrar la reordenación que minimiza $Q.$

Dados $n$ puntos $X_1,X_2,\ldots, X_n$ en el intervalo $0 \leq X_i \leq 1, i = 1, 2,\ldots, n$ , demostrar que existe un punto $y, 0 \leq y \leq 1$ , tal que $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} | y - X_i | = \frac 12.$

(a) Demostrar que $\frac{1}{n+1} \cdot \binom{2n}{n}$ es un entero para $n \geq 0.$\n(b) Dado un entero positivo $k$ , determine el entero más pequeño $C_k$ con la propiedad de que $\frac{C_k}{n+k+1} \cdot \binom{2n}{n}$ es un entero para todo $n \geq k.$

Llamamos a un entero positivo par $n$ 'agradable' si el conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ se puede dividir en $\frac{n}{2}$ subconjuntos de dos elementos, tales que la suma de los elementos en cada subconjunto es una potencia de $3$. Por ejemplo, $6$ es 'agradable', porque el conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ se puede dividir en subconjuntos $\{1, 2\}$, $\{3, 6\}$, $\{4, 5\}$. Encuentra el número de enteros positivos 'agradables' que son menores que $3^{2022}$.