Encuentra todas las cuádruplas de enteros positivos $(p, q, a, b)$, donde $p$ y $q$ son números primos y $a > 1$, tales que $$p^a = 1 + 5q^b.$$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AH = HD$, donde $H$ es el ortocentro de $ABC$ y $D \in BC$ es el pie de la altura desde el vértice $A$. Sea $\ell$ la recta que pasa por $H$ que es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$. Sean $S$ y $T$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $AC$, respectivamente. Denote los puntos medios de $BH$ y $CH$ por $M$ y $N$, respectivamente. Demuestra que las rectas $SM$ y $TN$ son paralelas.

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $$11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$$

Demostrar que toda partición del espacio 3-dimensional en tres subconjuntos disjuntos tiene la siguiente propiedad: Uno de estos subconjuntos contiene todas las distancias posibles; es decir, para cada $a \in \mathbb R^+$ , existen puntos $M$ y $N$ dentro de ese subconjunto tales que la distancia entre $M$ y $N$ es exactamente $a.$

Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demostrar que $d_n$ es aperiódico; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0, d_{n+T} = d_n.$

Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demostrar que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

Sea $n$ un entero positivo que tiene al menos dos factores primos diferentes. Demostrar que existe una permutación $a_1, a_2, \dots , a_n$ de los enteros $1, 2, \dots , n$ tal que $\sum_{k=1}^{n} k \cdot \cos \frac{2 \pi a_k}{n}=0.$

Hallar el entero más grande menor o igual a $\sum_{k=1}^{2^{1983}} k^{\frac{1}{1983} -1}.$

Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones en $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots \ x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado.

Sea $(F_n)_{n\geq 1} $ la sucesión de Fibonacci $F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1),$ y $P(x)$ el polinomio de grado $990$ que satisface \[ P(k) = F_k, \qquad \text{ para } k = 992, . . . , 1982.\] Demuestra que $P(1983) = F_{1983} - 1.$