Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, de los cuales no hay dos que tengan un divisor común mayor que $1$ . Demuestra que $2abc-ab-bc-ca$ es el entero más grande que no se puede expresar de la forma $xbc+yca+zab$ , donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

Sean $P_1, P_2, \dots , P_n$ puntos distintos del plano, $n \geq 2$ . Demuestra que \[ \max_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j > \frac{\sqrt 3}{2}(\sqrt n -1) \min_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j \]

Sea $F(n)$ el conjunto de polinomios $P(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ , con $a_0, a_1, . . . , a_n \in \mathbb R$ y $0 \leq a_0 = a_n \leq a_1 = a_{n-1 } \leq \cdots \leq a_{[n/2] }= a_{[(n+1)/2]}.$ Demuestra que si $f \in F(m)$ y $g \in F(n)$ , entonces $fg \in F(m + n).$

Decide si existe un conjunto $M$ de enteros positivos que satisfacen las siguientes condiciones: (i) Para cualquier número natural $m>1$ existen $a, b \in M$ tal que $a+b = m.$ (ii) Si $a, b, c, d \in M$ , $a, b, c, d > 10$ y $a + b = c + d$ , entonces $a = c$ o $a = d.$

¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales a $10^5$ , ninguno de los cuales son términos consecutivos de una progresión aritmética?

Sea $E$ el conjunto de los $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$ ). Una coloración de $E$ es una función de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ hay que satisfacen la siguiente propiedad: El número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$ ?

Encuentra todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de los reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todos $x,y$ ; y $f(x)\to0$ cuando $x\to\infty$ .

Sea $f : [0, 1] \to \mathbb R$ continua y satisface:\n\[ \begin{cases}bf(2x) = f(x), &\mbox{ si } 0 \leq x \leq 1/2,\ f(x) = b + (1 - b)f(2x - 1), &\mbox{ si } 1/2 \leq x \leq 1,\end{cases}\]\ndonde $b = \frac{1+c}{2+c}$ , $c > 0$ . Muestra que $0 < f(x)-x < c$ para cada $x, 0 < x < 1.$

Sean $p$ y $q$ enteros. Demostrar que existe un intervalo $I$ de longitud $1/q$ y un polinomio $P$ con coeficientes integrales tal que\n\[ \left|P(x)-\frac pq \right| < \frac{1}{q^2}\] para todo $x \in I.$

Sean $ a$ , $ b$ y $ c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que\n\[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0.\]\nDeterminar cuándo ocurre la igualdad.