En una prueba, $3n$ estudiantes participan, quienes están ubicados en tres filas de $n$ estudiantes en cada una. Los estudiantes abandonan la sala de examen uno por uno. Si $N_1(t), N_2(t), N_3(t)$ denotan los números de estudiantes en la primera, segunda y tercera fila respectivamente en el tiempo $t$ , hallar la probabilidad de que para cada t durante la prueba,\n\[|N_i(t) - N_j(t)| < 2, i \neq j, i, j = 1, 2, \dots .\]

Sea $a$ un entero positivo y sea $\{a_n\}$ definida por $a_0 = 0$ y\n\[a_{n+1 }= (a_n + 1)a + (a + 1)a_n + 2 \sqrt{a(a + 1)a_n(a_n + 1)} \qquad (n = 1, 2 ,\dots ).\]\nDemostrar que para cada entero positivo $n$ , $a_n$ es un entero positivo.

Sean ${x_1, x_2, \dots , x_n}$ enteros positivos para los cuales $x_1 + x_2 + \cdots+ x_n = 2(n + 1)$ . Demostrar que existe un entero $r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ para el cual se cumplen las siguientes $n - 1$ desigualdades:\n\[x_{r+1} + \cdots + x_{r+i} \leq 2i+ 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq n - r; \]\n\[x_{r+1} + \cdots + x_n + x_1 + \cdots+ x_i \leq 2(n - r + i) + 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq r - 1.\]\nDemostrar que si todas las desigualdades son estrictas, entonces $r$ es único y que de lo contrario hay exactamente dos tales $r$.

Considere el conjunto $\mathbb Q^2$ de puntos en $\mathbb R^2$ , ambas coordenadas racionales. (a) Demuestre que la unión de segmentos con vértices de $\mathbb Q^2$ es todo el conjunto $\mathbb R^2$ . (b) ¿Es la envolvente convexa de $\mathbb Q^2$ (es decir, el conjunto convexo más pequeño en $\mathbb R^2$ que contiene a $\mathbb Q^2$ ) igual a $\mathbb R^2$ ?

Sea $n$ un entero positivo. Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores naturales $d$ de $n$ (incluyendo $1$ y $n$ ) . Decimos que un entero $m \geq 1$ es superabundante (P.Erdos, $1944$ ) si $\forall k \in \{1, 2, \dots , m - 1 \}$ , $\frac{\sigma(m)}{m} >\frac{\sigma(k)}{k}.$ Demuestre que existe un infinito de números superabundantes.

(a) Dado un tetraedro $ABCD$ y sus cuatro alturas (es decir, líneas que pasan por cada vértice, perpendiculares a la cara opuesta), asuma que la altura trazada desde $D$ pasa por el ortocentro $H_4$ del $\triangle ABC$ . Demuestre que esta altura $DH_4$ interseca a las otras tres alturas. (b) Si además sabemos que una segunda altura, digamos la que va desde el vértice A a la cara $BCD$ , también pasa por el ortocentro $H_1$ del $\triangle BCD$ , entonces demuestre que las cuatro alturas son concurrentes y cada una pasa por el ortocentro del triángulo respectivo.

Diecisiete ciudades son servidas por cuatro aerolíneas. Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre dos ciudades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes.

Las localidades $P_1, P_2, \dots, P_{1983}$ son servidas por diez aerolíneas internacionales $A_1,A_2, \dots , A_{10}$ . Se observa que hay servicio directo (sin escalas) entre dos de estas localidades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes.

El mapa de vuelos de la compañía aérea $K_{r,r}$ presenta varias ciudades. Algunas ciudades están conectadas por un vuelo directo (de ida y vuelta), el número total de vuelos es m. Uno debe elegir dos grupos no intersecantes de r ciudades cada uno de manera que cada ciudad del primer grupo esté conectada por un vuelo con cada ciudad del segundo grupo. Demuestra que el número de posibles elecciones no excede $2*m^r$ .

Los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen $0<a \leq b \leq d \leq c$ y ${a+c=b+d}$ . Demuestra que para cada punto interior $P$ de un segmento con longitud $a$ este segmento es un lado de un cuadrilátero circunscrito con lados consecutivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , tal que su incírculo contiene ~ $P$ .