¿Existe un entero positivo $N>10^{20}$ tal que todos sus dígitos decimales son impares, los números de dígitos 1, 3, 5, 7, 9 en su representación decimal son iguales, y es divisible por cada número de 20 dígitos obtenido de él eliminando dígitos? (Ni los dígitos eliminados ni los restantes deben ser consecutivos).

Se escriben números positivos en los cuadrados de una tabla de 10 × 10. Las ranas se sientan en cinco cuadrados y cubren los números en estos cuadrados. Kostya encontró la suma de todos los números visibles y obtuvo 10. Luego cada rana saltó a un cuadrado adyacente y la suma de Kostya cambió a $10^2$ . Luego las ranas saltaron de nuevo, y la suma cambió a $10^3$ y así sucesivamente: cada nueva suma fue 10 veces mayor que la anterior. ¿Qué suma máxima puede obtener Kostya?

Números no negativos $a$ , $b$ , $c$ satisfacen $a^2+b^2+c^2\geq 3$ . Demuestra la desigualdad $$ (a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca). $$

Un cubo se encuentra en uno de los cuadrados de un tablero de ajedrez infinito. En cada cara del cubo hay una flecha que apunta en una de las cuatro direcciones paralelas a los lados de la cara. Anton mira el cubo desde arriba y lo hace rodar sobre un borde en la dirección apuntada por la flecha en la cara superior. Demuestra que el cubo no puede cubrir ningún cuadrado de $5\times 5$.

El punto $D$ en la altitud $AA_1$ de un triángulo acutángulo $ABC$ es tal que $\angle BDC=90^\circ$ ; $H$ es el ortocentro de $ABC$ . Se construye un círculo con diámetro $AH$ . Demuestra que la tangente trazada desde $B$ a este círculo es igual a $BD$ .

Tanya y Serezha tienen un montón de $2016$ caramelos. Hacen movimientos por turnos, Tanya se mueve primero. En cada movimiento un jugador puede comer ya sea un caramelo o (si el número de caramelos es par en el momento) exactamente la mitad de todos los caramelos. El jugador que no puede mover pierde. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Se da un grafo conexo. Demuestra que sus vértices pueden ser coloreados de azul y verde y algunas de sus aristas marcadas de manera que cada dos vértices estén conectados por un camino de aristas marcadas, cada arista marcada conecta dos vértices de diferente color y no hay dos vértices verdes conectados por una arista del grafo original.

Para todo $x$ , $y$ , $z>{3\over 2}$ demuestra la desigualdad $$ x^{24} + \root 5\of {y^{60}+z^{40}} \geq \left(x^4 y^3 + {1\over 3} y^2 z^2 + {1\over 9} x^3 z^3 \right)^2. $$

Los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen $0<a \leq b \leq d \leq c$ y ${a+c=b+d}$ . Demuestra que para cada punto interior $P$ de un segmento con longitud $a$ este segmento es un lado de un cuadrilátero circunscrito con lados consecutivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , tal que su incírculo contiene ~ $P$ .

La razón de los números primos $p$ y $q$ no excede 2 ( $p\ne q$ ) . Demuestra que hay dos enteros positivos consecutivos tales que el mayor divisor primo de uno de ellos es $p$ y el del otro es $q$ .