Para cada entero positivo $k$ encuentra el número de soluciones en enteros no negativos $x,y,z$ con $x\le y \le z$ de la ecuación $$8^k=x^3+y^3+z^3-3xyz$$

Las altitudes $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ de un triángulo acutángulo $ABC$ se encuentran en $H$ . $A_0$ , $B_0$ , $C_0$ son los puntos medios de $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente. Los puntos $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ en los segmentos $AH$ , $BH$ , $HC_1$ respectivamente son tales que $\angle A_0B_2A_2 = \angle B_0C_2B_2 = \angle C_0A_2C_2 =90^\circ$ . Demuestra que las líneas $AC_2$ , $BA_2$ , $CB_2$ son concurrentes.

Un cubo se encuentra en uno de los cuadrados de un tablero de ajedrez infinito. En cada cara del cubo hay una flecha que apunta en una de las cuatro direcciones paralelas a los lados de la cara. Anton mira el cubo desde arriba y lo hace rodar sobre un borde en la dirección apuntada por la flecha en la cara superior. Demuestra que el cubo no puede cubrir ningún cuadrado de $5\times 5$.

La secuencia $(a_n)$ está definida por $a_1=0$ , $$ a_{n+1}={a_1+a_2+\ldots+a_n\over n}+1. $$ Demuestra que $a_{2016}>{1\over 2}+a_{1000}$ .

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes complejos no constante y sea $Q(x,y)=P(x)-P(y).$ Suponga que el polinomio $Q(x,y)$ tiene exactamente $k$ factores lineales no proporcionales dos a dos (sin contar repeticiones). Sea $R(x,y)$ un factor de $Q(x,y)$ de grado estrictamente menor que $k$. Demuestre que $R(x,y)$ es un producto de polinomios lineales. Nota: El grado del polinomio no trivial $\sum_{m}\sum_{n}c_{m,n}x^{m}y^{n}$ es el máximo de $m+n$ a lo largo de todos los coeficientes no nulos $c_{m,n}.$ Dos polinomios son proporcionales si uno de ellos es el otro multiplicado por una constante compleja.

Dos hormigas se mueven a lo largo de las aristas de un poliedro convexo. La ruta de cada hormiga termina en su punto de partida, de modo que una hormiga no pasa por el mismo punto dos veces a lo largo de su camino. En cada cara $F$ del poliedro se escribe el número de aristas de $F$ que pertenecen a la ruta de la primera hormiga y el número de aristas de $F$ que pertenecen a la ruta de la segunda hormiga. ¿Existe un poliedro y un par de rutas descritas como anteriormente, tales que solo una cara contiene un par de números distintos?

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $P$ un punto en su plano tal que $AP<BP<CP.$ Suponga que las longitudes de los segmentos $AP,BP$ y $CP$ determinan únicamente el lado de $ABC$. Demuestre que $P$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC.$

Sean $p$ y $q$ enteros positivos impares relativamente primos tales que $1 < p < q$. Sea $A$ un conjunto de pares de enteros $(a, b)$, donde $0 \le a \le p - 1, 0 \le b \le q - 1$, que contiene exactamente un par de cada uno de los conjuntos $$\{(a, b),(a + 1, b + 1)\}, \{(a, q - 1), (a + 1, 0)\}, \{(p - 1,b),(0, b + 1)\}$$ siempre que $0 \le a \le p - 2$ y $0 \le b \le q - 2$. Demuestre que $A$ contiene al menos $(p - 1)(q + 1)/8$ pares cuyas entradas son ambas pares.

Un cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito a una circunferencia con centro $I$. Se elige un punto $P \ne I$ dentro de $ABCD$ de modo que los triángulos $PAB, PBC, PCD,$ y $PDA$ tienen perímetros iguales. Una circunferencia $\Gamma$ con centro en $P$ corta a los rayos $PA, PB, PC$ , y $PD$ en $A_1, B_1, C_1$ , y $D_1$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $PI, A_1C_1$ , y $B_1D_1$ son concurrentes.

Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$. Se elige un punto $D$ en la bisectriz interna de $\angle ACB$ de modo que los puntos $D$ y $C$ estén separados por $AB$. Una circunferencia $\omega$ con centro en $D$ es tangente al segmento $AB$ en $E$. Las tangentes a $\omega$ que pasan por $C$ cortan al segmento $AB$ en $K$ y $L$, donde $K$ está en el segmento $AL$. Una circunferencia $\Omega_1$ es tangente a los segmentos $AL, CL$, y también a $\Omega$ en el punto $M$. Similarmente, una circunferencia $\Omega_2$ es tangente a los segmentos $BK, CK$, y también a $\Omega$ en el punto $N$. Las rectas $LM$ y $KN$ se cortan en $P$. Demuestre que $\angle KCE = \angle LCP$.