Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$. Se elige un punto $D$ en la bisectriz interna de $\angle ACB$ de modo que los puntos $D$ y $C$ estén separados por $AB$. Una circunferencia $\omega$ con centro en $D$ es tangente al segmento $AB$ en $E$. Las tangentes a $\omega$ que pasan por $C$ cortan al segmento $AB$ en $K$ y $L$, donde $K$ está en el segmento $AL$. Una circunferencia $\Omega_1$ es tangente a los segmentos $AL, CL$, y también a $\Omega$ en el punto $M$. Similarmente, una circunferencia $\Omega_2$ es tangente a los segmentos $BK, CK$, y también a $\Omega$ en el punto $N$. Las rectas $LM$ y $KN$ se cortan en $P$. Demuestre que $\angle KCE = \angle LCP$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \ne AC$, y sean $I$ y $O$ su incentro y circuncentro, respectivamente. Sea la circunferencia inscrita tangente a $BC, CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F$, respectivamente. Asuma que la recta que pasa por $I$ paralela a $EF$, la recta que pasa por $D$ paralela a $AO$, y la altura desde $A$ son concurrentes. Demuestre que el punto de concurrencia es el ortocentro del triángulo $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. La recta que pasa por $C$ perpendicular a $AC$ se encuentra con la bisectriz del ángulo externo de $\angle ABC$ en $D$ . Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $D$ sobre $BC$ . El punto $K$ se elige en $AB$ de modo que $KH \parallel AC$ . Sea $M$ el punto medio de $AK$ . Demostrar que $MC = MB + BH$ .

Sea $BM$ una mediana en un triángulo acutángulo $ABC$ . Se elige un punto $K$ en la recta que pasa por $C$ tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle BMC$ de modo que $\angle KBC = 90^\circ$ . Los segmentos $AK$ y $BM$ se encuentran en $J$ . Demostrar que el circuncentro de $\triangle BJK$ se encuentra en la recta $AC$ .

Fijar un entero impar $n > 1$ . Para una permutación $p$ del conjunto $\{1,2,...,n\}$ , sea S el número de pares de índices $(i, j)$ , $1 \le i \le j \le n$ , para los cuales $p_i +p_{i+1} +...+p_j$ es divisible por $n$ . Determinar el valor máximo posible de $S$ .

Fijar un entero $n \ge 2$ . Una pieza de ajedrez mágica leopardo puede moverse una celda hacia arriba, o una celda hacia la derecha, o una celda diagonalmente hacia abajo a la izquierda. Un leopardo se coloca en alguna celda de un tablero de ajedrez de $3n \times 3n$. El leopardo hace varios movimientos, sin visitar nunca una celda dos veces, y regresa a la celda de inicio. Determinar el número máximo posible de movimientos que el leopardo podría haber hecho.

Sean $k$ y $N$ enteros tales que $k > 1$ y $N > 2k + 1$ . Un número de $N$ personas se sientan alrededor de la Mesa Redonda, equidistantes. Cada persona es un caballero (siempre dice la verdad) o un mentiroso (que siempre miente). Cada persona ve las $k$ personas más cercanas en el sentido de las agujas del reloj, y las $k$ personas más cercanas en el sentido contrario a las agujas del reloj. Cada persona dice: 'Veo la misma cantidad de caballeros a mi izquierda que a mi derecha'. Establecer, en términos de $k$ y $N$ , si las personas alrededor de la Mesa son necesariamente todos caballeros.

Dado un entero positivo $n$ , determinar la constante máxima $C_n$ que satisface la siguiente condición: para cualquier partición del conjunto $\{1,2,\ldots,2n \}$ en dos subconjuntos de $n$ elementos $A$ y $B$ , existen etiquetas $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ de $A$ y $B$ , respectivamente, tales que $$(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\ldots+(a_n-b_n)^2\ge C_n.$$

Determinar todas las funciones $f:\mathbb R\mapsto\mathbb R$ que satisfacen la ecuación $f(a^2 +ab+ f(b^2))=af(b)+b^2+ f(a^2)\,\forall a,b\in\mathbb R $

Considere un $\triangle {ABC}$, con $AC \perp BC$. Considere un punto $D$ en $AB$ tal que $CD=k$, y los radios de los círculos inscritos en $\triangle {ADC}$ y $\triangle {CDB}$ son iguales. Demuestre que el área de $\triangle {ABC}$ es igual a $k^2$.