Resuelva la siguiente ecuación en enteros con gcd (x, y) = 1 $x^2 + y^2 = 2 z^2$

Pedro y Cecilia juegan el siguiente juego: Pedro elige un número entero positivo $a$ y Cecilia gana si encuentra un número entero positivo $b$, primo con $a$, tal que, en la factorización de $a^3+b^3$ aparecerán tres números primos diferentes. Demuestre que Cecilia siempre puede ganar.

Sea $p$ un número real positivo dado. Encuentre el valor mínimo de $x^3+y^3$, sabiendo que $x$ e $y$ son números reales positivos tales que $xy(x+y)=p$.

Considere un círculo $C$ con diámetro $AB=1$. Se elige un punto $P_0$ en $C$, $P_0 \ne A$, y comenzando en $P_0$ se construye una secuencia de puntos $P_1, P_2, \dots, P_n, \dots$ en $C$, de la siguiente manera: $Q_n$ es el punto simétrico de $A$ con respecto a $P_n$ y la línea recta que une $B$ y $Q_n$ corta a $C$ en $B$ y $P_{n+1}$ (no necesariamente diferente). Demuestre que es posible elegir $P_0$ tal que: i $\angle {P_0AB} < 1$. ii En la secuencia que comienza con $P_0$ hay $2$ puntos, $P_k$ y $P_j$, tales que $\triangle {AP_kP_j}$ es equilátero.

El número entero positivo $n$ tiene $1994$ dígitos. $14$ de sus dígitos son $0$ ' s y la cantidad de veces que los otros dígitos: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ aparecen están en proporción $1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9$, respectivamente. Demuestre que $n$ no es un cuadrado perfecto.

Dado un triángulo $ABC$ con incentro $I$. El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $BC$ en $D$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el lado BC tales que $\angle PAB = \angle BCA$ y $\angle QAC = \angle ABC$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ el incentro de los triángulos $ABP$ y $ACQ$, respectivamente. Demostrar que $AD$ es la línea de Euler del triángulo $IKL$.

Se dan 2021 puntos en el plano en posición convexa, no tres colineales y no cuatro concíclicos. Demostrar que existen dos de ellos tales que todo círculo que pasa por estos dos puntos contiene al menos 673 de los otros puntos en su interior. (Un conjunto finito de puntos en el plano están en posición convexa si los puntos son los vértices de un polígono convexo).

Consideremos un triángulo $ABC$ con alturas $AD, BE$ y $CF$, y ortocentro $H$. Sea la línea perpendicular desde $H$ a $EF$ interseca a $EF, AB$ y $AC$ en $P, T$ y $L$, respectivamente. El punto $K$ se encuentra en el lado $BC$ de tal manera que $BD=KC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $H$ y $P$, que es tangente a $AH$. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo $ATL$ y $\omega$ son tangentes, y $KH$ pasa por el punto de tangencia.

Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se encuentran en dos puntos distintos $A$ y $B$. Una línea que pasa por $A$ se encuentra con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ de nuevo en $C$ y $D$ respectivamente, de tal manera que $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. La tangente en $A$ a $\Gamma_2$ se encuentra con $\Gamma_1$ de nuevo en $E$. Sea $F$ un punto en $\Gamma_2$ tal que $F$ y $A$ se encuentran en lados diferentes de $BD$, y $2\angle AFC=\angle ABC$. Demostrar que la tangente en $F$ a $\Gamma_2$, y las líneas $BD$ y $CE$ son concurrentes.

Se da el triángulo acutángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $D$ el punto medio de $AC$, $E$ el pie de la altura desde $A$ hasta $BC$, y $F$ el punto de intersección de $AB$ y $DE$. El punto $H$ se encuentra en el arco $BC$ de $\omega$ (el que no contiene a $A$) de tal manera que $\angle BHE=\angle ABC$. Demostrar que $\angle BHF=90^\circ$.