Consideremos un pentágono convexo $ABCDE$ y un punto variable $X$ en su lado $CD$. Supongamos que los puntos $K, L$ se encuentran en el segmento $AX$ de tal manera que $AB = BK$ y $AE = EL$ y que las circunferencias circunscritas de los triángulos $CXK$ y $DXL$ se intersecan por segunda vez en $Y$. Cuando $X$ varía, demostrar que todas esas líneas $XY$ pasan por un punto fijo, o son todas paralelas.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con su incentro $I$ y su circunferencia circunscrita $\Gamma$. La línea $AI$ interseca a $\Gamma$ por segunda vez en $M$. Sea $N$ el punto medio de $BC$ y $T$ el punto en $\Gamma$ tal que $IN \perp MT$. Finalmente, sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $TB$ y $TC$, respectivamente, con la línea perpendicular a $AI$ en $I$. Demostrar que $PB = CQ$.

Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $AB = BC$ y $\angle ABD = \angle BCD = 90$. Sea el punto $E$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. El punto $F$ se encuentra en el lado $AD$ de tal manera que $\frac{AF}{F D}=\frac{CE}{EA}$. El círculo $\omega$ con diámetro $DF$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ABF$ se intersecan por segunda vez en el punto $K$. El punto $L$ es la segunda intersección de $EF$ y $\omega$. Demostrar que la línea $KL$ pasa por el punto medio de $CE$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Los puntos $E, F$ se encuentran en los lados $AB, CD$ respectivamente, de tal manera que $\angle EDC = \angle FBC$ y $\angle ECD = \angle FAD$. Demostrar que $AB \geq 2BC$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$. El punto $E$ es el punto medio de $AC$ y el punto $D$ se encuentra en el lado $BC$ de tal manera que $3CD = BC$. Demostrar que $BE \perp HD$.

Kilua y Ndoti juegan el siguiente juego en un cuadrado $ABCD$ : Kilua elige uno de los lados del cuadrado y dibuja un punto $X$ en este lado. Ndoti elige uno de los otros tres lados y dibuja un punto Y. Kilua elige otro lado que no ha sido elegido y dibuja un punto Z. Finalmente, Ndoti elige el último lado que no ha sido elegido aún y dibuja un punto W. Cada uno de los jugadores puede dibujar su punto en un vértice de $ABCD$ , pero tienen que elegir el lado del cuadrado que se va a usar para hacer eso. Por ejemplo, si Kilua elige $AB$ , él puede dibujar $X$ en el punto $B$ y eso no impide que Ndoti elija $BC$ . Un vértice no puede ser elegido dos veces. Kilua gana si el área del cuadrilátero convexo formado por $X$ , $Y$ , $Z$ , y $W$ es mayor o igual a la mitad del área de $ABCD$ . De lo contrario, Ndoti gana. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora? ¿Cómo puede jugar?

Encuentra todas las cuádruplas de enteros positivos $(k,a,b,c)$ tal que $2^k=a!+b!+c!$ y $a\geq b\geq c$ .

Desde un punto $K$ de un círculo, se dibuja una cuerda $KA$ (el arco $AK$ es mayor que $90^{o}$ ) y una tangente $l$. La línea que pasa por el centro del círculo y que es perpendicular al radio $OA$ , interseca a $KA$ en $B$ y a $l$ en $C$ . Demuestra que $KC = BC$ .

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , $P$ y $Q$ son puntos en los lados $BC$ y $DC$ tal que $B\hat{A}P = D\hat{A}Q$ . Si la línea que pasa por los ortocentros de $\triangle ABP$ y $\triangle ADQ$ es perpendicular a $AC$ , demuestra que el área de estos triángulos son iguales.

Cada punto blanco en la figura de abajo tiene que ser completado con uno de los enteros $1, 2, ..., 9$ , sin repeticiones, tal que la suma de los tres números en el círculo externo sea igual a la suma de los cuatro números en cada círculo interno que no pertenezcan al círculo externo. $(a)$ Muestra una solución. $(b)$ Demuestra que, en cualquier solución, el número $9$ debe pertenecer al círculo externo.