Cuatro hermanos tienen juntos cuarenta y ocho Kwanzas. Si el dinero del primer hermano aumentara en tres Kwanzas, si el dinero del segundo hermano disminuyera en tres Kwanzas, si el dinero del tercer hermano se triplicara y si el dinero del último hermano se redujera a un tercio, entonces todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada hermano?

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un múltiplo entero de $2022$ tal que la suma de los cuadrados de sus dígitos es igual a $n$.

Encuentra todos los pares $(a, p)$ de enteros positivos, donde $p$ es un número primo, tal que para cualquier par de enteros positivos $m$ y $n$ el residuo obtenido cuando $a^{2^n}$ se divide por $p^n$ es distinto de cero e igual al residuo obtenido cuando $a^{2^m}$ se divide por $p^m$.

Considera la secuencia $u_0, u_1, u_2, ...$ definida por $u_0 = 0, u_1 = 1,$ y $u_n = 6u_{n - 1} + 7u_{n - 2}$ para $n \ge 2$. Demuestra que no existen enteros no negativos $a, b, c, n$ tales que $$ab(a + b)(a^2 + ab + b^2) = c^{2022} + 42 = u_n.$$

Encuentra todas las cuádruplas de enteros positivos $(p, q, a, b)$, donde $p$ y $q$ son números primos y $a > 1$, tales que $$p^a = 1 + 5q^b.$$

Sean $a < b < c < d < e$ enteros positivos. Demuestra que $$\frac{1}{[a, b]} + \frac{1}{[b, c]} + \frac{1}{[c, d]} + \frac{2}{[d, e]} \le 1$$ donde $[x, y]$ es el mínimo común múltiplo de $x$ e $y$ (p.ej., $[6, 10] = 30$ ) . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Determine todos los pares $(k, n)$ de enteros positivos que satisfacen $$1! + 2! + ... + k! = 1 + 2 + ... + n.$$

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con hipotenusa $BC$ . La tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A$ interseca la línea $BC$ en $T$ . Los puntos $D$ y $E$ se eligen de manera que $AD = BD, AE = CE,$ y $\angle CBD = \angle BCE < 90^{\circ}$ . Demuestra que $D, E,$ y $T$ son colineales.

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro $H$ y circuncírculo $k$ . Sea $\omega$ el círculo con diámetro $AH$ y $P$ el punto de intersección de $\omega$ y $k$ distinto de $A$ . Asuma que $BP$ y $CP$ intersecan a $\omega$ por segunda vez en los puntos $Q$ y $R$ , respectivamente. Si $D$ es el pie de la altura desde $A$ a $BC$ y $S$ es el punto de intersección de $\omega$ y $QD$ , demuestra que $HR = HS$ .

Dado un triángulo equilátero $ABC$ y un punto arbitrario, denotado por $E$ , en el segmento de línea $BC$ . Sea $l$ la línea que pasa por $A$ paralela a $BC$ y sea $K$ el punto en $l$ tal que $KE$ es perpendicular a $BC$ . El círculo con centro $K$ y radio $KE$ interseca los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ , respectivamente. La línea perpendicular a $AB$ en $M$ interseca a $l$ en $D$ , y la línea perpendicular a $AC$ en $N$ interseca a $l$ en $F$ . Demuestra que el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $MDA$ y $NFA$ pertenece a la línea $KE$ .