Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AH = HD$ , donde $H$ es el ortocentro de $ABC$ y $D \in BC$ es el pie de la altura desde el vértice $A$ . Sea $\ell$ la recta que pasa por $H$ que es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ . Sean $S$ y $T$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $AC$ , respectivamente. Denotemos los puntos medios de $BH$ y $CH$ por $M$ y $N$ , respectivamente. Demuestra que las rectas $SM$ y $TN$ son paralelas.

Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $k$ . Los puntos $A_1, B_1,$ y $C_1$ en $k$ son los puntos medios de los arcos $\widehat{BC}$ (que no contiene a $A$ ) , $\widehat{AC}$ (que no contiene a $B$ ) , y $\widehat{AB}$ (que no contiene a $C$ ) , respectivamente. Los puntos distintos por pares $A_2, B_2,$ y $C_2$ son elegidos tal que los cuadriláteros $AB_1A_2C_1, BA_1B_2C_1,$ y $CA_1C_2B_1$ son paralelogramos. Prueba que $k$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $A_2B_2C_2$ tienen un centro común. Comentario. El punto $A_2$ también puede ser definido como la reflexión de $A$ con respecto al punto medio de $B_1C_1$ , y definiciones análogas pueden ser usadas para $B_2$ y $C_2$ .

Sea $ABCDE$ un pentágono cíclico tal que $BC = DE$ y $AB$ es paralelo a $DE$ . Sean $X, Y,$ y $Z$ los puntos medios de $BD, CE,$ y $AE$ respectivamente. Demuestra que $AE$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $XYZ$ .

Sea $n \ge 2$ un entero. En cada celda de una tabla de $4n \times 4n$ escribimos la suma del índice de la fila de la celda y el índice de la columna de la celda. Inicialmente, ninguna celda está coloreada. Un movimiento consiste en elegir dos celdas que no están coloreadas y colorear una de ellas en rojo y una de ellas en azul. Demuestra que, sin embargo, Alex realiza $n^2$ movimientos, Jane puede después realizar una cantidad de movimientos (eventualmente ninguno) después de lo cual la suma de los números escritos en las celdas rojas es la misma que la suma de los números escritos en las azules.

Sea $S$ un conjunto finito de puntos en el plano, tal que para cada 2 puntos $A$ y $B$ en $S$ , el segmento $AB$ es un lado de un polígono regular todos cuyos vértices están contenidos en $S$ . Encuentra todos los valores posibles para el número de elementos de $S$ .

Llamamos a un entero positivo par $n$ agradable si el conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ se puede dividir en $\frac{n}{2}$ subconjuntos de dos elementos, de tal manera que la suma de los elementos en cada subconjunto es una potencia de $3$ . Por ejemplo, $6$ es agradable, porque el conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ se puede dividir en subconjuntos $\{1, 2\}$ , $\{3, 6\}$ , $\{4, 5\}$ . Encuentra el número de enteros positivos agradables que son menores que $3^{2022}$ .

Hay $200$ cajas sobre la mesa. Al principio, cada una de las cajas contiene un entero positivo (los enteros no son necesariamente distintos). Cada minuto, Alice hace un movimiento. Un movimiento consiste en lo siguiente. Primero, ella elige una caja $X$ que contiene un número $c$ tal que $c = a + b$ para algunos números $a$ y $b$ que están contenidos en algunas otras cajas. Luego ella elige un entero positivo $k > 1$ . Finalmente, ella elimina $c$ de $X$ y lo reemplaza con $kc$ . Si no puede hacer ningún movimiento, se detiene. Demuestra que no importa cómo Alice haga sus movimientos, no podrá hacer infinitos movimientos.

Sea $n \ge 2$ un entero. Alex escribe los números $1, 2, ..., n$ en algún orden en un círculo de tal manera que dos vecinos cualesquiera sean coprimos. Entonces, para dos números cualesquiera que no sean coprimos, Alex dibuja un segmento de línea entre ellos. Para cada segmento $s$ denotamos por $d_s$ la diferencia de los números escritos en sus extremos y por $p_s$ el número de todos los demás segmentos dibujados que intersectan $s$ en su interior. Encuentra el mayor $n$ para el cual Alex puede escribir los números en el círculo de tal manera que $p_s \le |d_s|$ , para cada segmento dibujado $s$ .

Ana y Bob, comenzando Ana primero, alternativamente colorean los enteros del conjunto $S = \{1, 2, ..., 2022 \}$ rojo o azul. En su turno, cada uno puede colorear cualquier número sin colorear de $S$ que desee con cualquier color que desee. El juego termina cuando todos los números de $S$ son coloreados. Sea $N$ el número de pares $(a, b)$ , donde $a$ y $b$ son elementos de $S$ , tales que $a$ , $b$ tienen el mismo color, y $b - a = 3$ . Ana desea maximizar $N$ . ¿Cuál es el valor máximo de $N$ que puede alcanzar independientemente de cómo juegue Bob?

Sean $a, b,$ y $c$ números reales positivos tales que $a^2 + b^2 + c^2 = 3$ . Demostrar que $$\frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{b^2 + c^2}{2bc} + \frac{c^2 + a^2}{2ca} + \frac{2(ab + bc + ca)}{3} \ge 5 + |(a - b)(b - c)(c - a)|.$$