Los números $2, 2, ..., 2$ están escritos en una pizarra (el número $2$ se repite $n$ veces). Un paso consiste en elegir dos números de la pizarra, denotándolos como $a$ y $b$, y reemplazándolos con $\sqrt{\frac{ab + 1}{2}}$. $(a)$ Si $x$ es el número que queda en la pizarra después de $n - 1$ aplicaciones de la operación anterior, demuestre que $x \ge \sqrt{\frac{n + 3}{n}}$. $(b)$ Demuestre que hay infinitos números para los cuales se cumple la igualdad e infinitos para los cuales la desigualdad es estricta.

Suponga que $a, b,$ y $c$ son números reales positivos tales que $$a + b + c \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$ Encuentra el valor más grande posible de la expresión $$\frac{a + b - c}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{b + c - a}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{c + a - b}{c^3 + a^3 + abc}.$$

Sean $a, b,$ y $c$ números reales positivos tales que $a + b + c = 1$. Demuestra la siguiente desigualdad $$a \sqrt[3]{\frac{b}{a}} + b \sqrt[3]{\frac{c}{b}} + c \sqrt[3]{\frac{a}{c}} \le ab + bc + ca + \frac{2}{3}.$$

Sean $x, y,$ y $z$ números reales positivos tales que $xy + yz + zx = 3$. Demuestra que $$\frac{x + 3}{y + z} + \frac{y + 3}{z + x} + \frac{z + 3}{x + y} + 3 \ge 27 \cdot \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2}{(x + y + z)^3}.$$

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $$11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$$\n

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Un punto $P$ (distinto de $B$ ) se elige en el segmento $BC$ de tal manera que $AB=AP$ . Sea $D$ la intersección de $AC$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ABP$ distinto de $A$ , y $E$ la intersección de $PM$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ABP$ distinto de $P$ . Sea $K$ la intersección de las líneas $AP$ y $DE$ . Sea $F$ un punto en $BC$ (distinto de $P$ ) tal que $KP=KF$ . Demuestra que $C,\ D,\ E$ y $F$ se encuentran en el mismo círculo.

Sea $n \geq 3$ un entero y $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el más pequeño y $M$ es el más grande de estos números. Se sabe que para cualquier entero distinto $1 \leq i,j,k \leq n$ , si $a_i \leq a_j \leq a_k$ entonces $a_ia_k \leq a_j^2$ . Demuestra que \[ a_1a_2 \cdots a_n \geq m^2M^{n-2} \] y determina cuándo se cumple la igualdad

Hay $2021$ personas en una reunión. Se sabe que una persona en la reunión no tiene amigos allí y otra persona tiene solo un amigo allí. Además, es cierto que, dadas $4$ personas cualesquiera, al menos $2$ de ellas son amigas. Demuestra que hay $2018$ personas en la reunión que son todas amigas entre sí. Nota. Si $A$ es amigo de $B$ entonces $B$ es un amigo de $A$ .

En una tabla que consiste en $2021\times 2021$ cuadrados unitarios, algunos cuadrados unitarios están coloreados de negro de tal manera que si colocamos un ratón en el centro de cualquier cuadrado en la tabla, puede caminar en línea recta (arriba, abajo, izquierda o derecha a lo largo de una columna o fila) y salir de la tabla sin caminar sobre ningún cuadrado negro (aparte del inicial si es negro). ¿Cuál es el número máximo de cuadrados que se pueden colorear de negro?

Sea $ABC$ un triángulo y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $CD$ es paralelo a la línea tangente a $\Gamma$ en $A$ . Sea $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$ , y $F$ la intersección de $BC$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ADC$ distinta de $C$ . Finalmente, sea $G$ la intersección de la línea $AB$ y la bisectriz interna de $\angle DCF$ . Demuestra que $E,\ G,\ F$ y $C$ se encuentran en el mismo círculo.