Una terna ordenada $(p, q, r)$ de números primos se llama parcera si $p$ divide a $q^2-4$ , $q$ divide a $r^2-4$ y $r$ divide a $p^2-4$ . Encuentra todas las ternas parceras.

Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$ . Sea $L$ un camino dentro de $S$ que no se cruza a sí mismo y que se compone de segmentos de línea $A_0A_1,A_1A_2,A_2A_3,\ldots,A_{n-1}A_n$ con $A_0=A_n$ . Suponga que para cada punto $P$ en el límite de $S$ hay un punto de $L$ a una distancia de $P$ no mayor que $\frac {1} {2}$ . Demuestre que hay dos puntos $X$ e $Y$ de $L$ tales que la distancia entre $X$ e $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que se encuentra entre $X$ e $Y$ no es menor que $198$ .

Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ están divididas por los puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de modo que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determine $r$ si $B,M$ y $N$ son colineales.

Pruebe que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] tiene una solución en enteros $x,y$ , entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Demuestre que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$ .

Considere secuencias infinitas $\{x_n\}$ de reales positivos tales que $x_0=1$ y $x_0\ge x_1\ge x_2\ge\ldots$ . a) Demuestre que para cada secuencia existe un $n\ge1$ tal que: \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}\ge3.999. \] b) Encuentre una secuencia tal que para todos $n$ : \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}<4. \]

Un triángulo no isósceles $A_{1}A_{2}A_{3}$ tiene lados $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ con el lado $a_{i}$ opuesto al vértice $A_{i}$ . Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$ , y sea $T_{i}$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca el lado $a_{i}$ . Denotemos por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ en la bisectriz del ángulo interior del ángulo $A_{i}$ . Pruebe que las líneas $M_{1}S_{1}$ , $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

La función $f(n)$ se define en los enteros positivos y toma valores enteros no negativos. $f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333$ y para todos $m,n:$ \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ o } 1. \] Determinar $f(1982)$ .

Para un entero positivo $n$, dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: Dado una pila de $s$ piedras, los jugadores toman turnos alternativamente con $A$ yendo primero. En cada turno el jugador puede tomar ya sea una piedra, o un número primo de piedras, o un múltiplo positivo de $n$ piedras. El ganador es aquel que toma la última piedra. Asumiendo que ambos $A$ y $B$ juegan perfectamente, ¿para cuántos valores de $s$ el jugador $A$ no puede ganar?

Para números reales positivos $a,b,c$ con $abc=1$ prueba que $\left(a+\frac{1}{b}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{c}\right)^{2}+\left(c+\frac{1}{a}\right)^{2}\geq 3(a+b+c+1)$

Considera un triángulo acutángulo $ABC$ de área $S$. Sea $CD \perp AB$ ($D \in AB$), $DM \perp AC$ ($M \in AC$) y $DN \perp BC$ ($N \in BC$). Denotemos por $H_1$ y $H_2$ a los ortocentros de los triángulos $MNC$, respectivamente $MND$. Encuentra el área del cuadrilátero $AH_1BH_2$ en términos de $S$.