Encuentra todas las ternas de primos $(p,q,r)$ que satisfacen $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sus diagonales tienen un punto común $M$. Se sabe que los circuncentros de los triángulos $MAB,MBC,MCD,MDE,MEF,MFA$ se encuentran en un círculo. Demuestre que los cuadriláteros $ABDE,BCEF,CDFA$ tienen áreas iguales.

El conjunto de números reales positivos no nulos se divide en tres subconjuntos mutuamente disjuntos no vacíos $(A\cup B\cup C)$. a) Demuestre que existe un triángulo de longitudes de lado $a,b,c$, tal que $a\in A, b\in B, c\in C$. b) ¿Siempre sucede que existe un triángulo rectángulo con la propiedad anterior?

¿Existe una función $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x+f(y))=f(x)+\sin y$, para todos los reales $x,y$?

Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $2^{n}+3^{n}$ es divisible por $n^{2}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, con $\angle BAC=\angle DAC$ y $M$ un punto interior tal que $\angle MBA=\angle MCD$ y $\angle MBC=\angle MDC$. Demuestre que el ángulo $\angle ADC$ es igual a $\angle BMC$ o $\angle AMB$.

Se dan $111$ monedas y una tabla de $n\times n$ dividida en celdas unitarias. Estas monedas se colocan dentro de las celdas unitarias (una celda unitaria puede contener una moneda, muchas monedas o puede estar vacía), de tal manera que la diferencia entre el número de monedas de dos celdas vecinas (que tienen una arista común) es $1$. Encuentre el $n$ máximo para que esto sea posible.

Sea $n \ge 2018$ un entero, y sean $a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n$ enteros positivos distintos por pares que no exceden $5n$. Suponga que la secuencia \[ \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \dots, \frac{a_n}{b_n} \] forma una progresión aritmética. Demuestra que los términos de la secuencia son iguales.

Sea $f : \{ 1, 2, 3, \dots \} \to \{ 2, 3, \dots \}$ una función tal que $f(m + n) | f(m) + f(n)$ para todos los pares $m,n$ de enteros positivos. Demuestra que existe un entero positivo $c > 1$ que divide todos los valores de $f$.

Cuatro enteros positivos $x,y,z$ y $t$ satisfacen las relaciones \[ xy - zt = x + y = z + t. \] ¿Es posible que tanto $xy$ como $zt$ sean cuadrados perfectos?