Sean $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ una secuencia infinita de enteros positivos. Suponga que hay un entero $N > 1$ tal que, para cada $n \geq N$ , el número $$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$ es un entero. Demuestre que hay un entero positivo $M$ tal que $a_m = a_{m+1}$ para todo $m \geq M$.

Defina la secuencia $a_0,a_1,a_2,\hdots$ por $a_n=2^n+2^{\lfloor n/2\rfloor}$. Demuestre que hay infinitos términos de la secuencia que pueden ser expresados como una suma de (dos o más) términos distintos de la secuencia, así como infinitos de aquellos que no pueden ser expresados de tal manera.

Sea $n>1$ un entero positivo. Cada celda de una tabla de $n\times n$ contiene un entero. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: Cada número en la tabla es congruente a $1$ módulo $n$. La suma de los números en cualquier fila, así como la suma de los números en cualquier columna, es congruente a $n$ módulo $n^2$. Sea $R_i$ el producto de los números en la $i^{\text{th}}$ fila, y $C_j$ el producto del número en la $j^{\text{th}}$ columna. Demuestre que las sumas $R_1+\hdots R_n$ y $C_1+\hdots C_n$ son congruentes módulo $n^4$.

Determinar todos los pares $(n, k)$ de enteros positivos distintos tales que exista un entero positivo $s$ para el cual el número de divisores de $sn$ y de $sk$ sean iguales.

Sea $O$ el circuncentro y $\Omega$ el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ un punto arbitrario en $\Omega$ , distinto de $A$ , $B$ , $C$ y sus antípodas en $\Omega$ . Denote los circuncentros de los triángulos $AOP$ , $BOP$ y $COP$ por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Las líneas $\ell_A$ , $\ell_B$ , $\ell_C$ perpendiculares a $BC$ , $CA$ y $AB$ pasan por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Demuestre que el circuncírculo del triángulo formado por $\ell_A$ , $\ell_B$ y $\ell_C$ es tangente a la línea $OP$ .

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB\cdot CD = BC\cdot DA$ . El punto $X$ se encuentra dentro de $ABCD$ de manera que \[\angle{XAB} = \angle{XCD}\quad\,\,\text{y}\quad\,\,\angle{XBC} = \angle{XDA}.\] Demuestre que $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^\circ$ .

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Omega$ e incentro $I$ . Una línea $\ell$ interseca las líneas $AI$ , $BI$ y $CI$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente, distintos de los puntos $A$ , $B$ , $C$ e $I$ . Las bisectrices perpendiculares $x$ , $y$ y $z$ de los segmentos $AD$ , $BE$ y $CF$ , respectivamente, determinan un triángulo $\Theta$ . Demuestre que el circuncírculo del triángulo $\Theta$ es tangente a $\Omega$ .

Un punto $T$ se elige dentro de un triángulo $ABC$. Sean $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ las reflexiones de $T$ en $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $A_1B_1C_1$ . Las líneas $A_1T$ , $B_1T$ y $C_1T$ se encuentran con $\Omega$ de nuevo en $A_2$ , $B_2$ y $C_2$ , respectivamente. Demuestre que las líneas $AA_2$ , $BB_2$ y $CC_2$ son concurrentes en $\Omega$ .

Se da un círculo $\omega$ con radio $1$. Una colección $T$ de triángulos se llama buena, si se cumplen las siguientes condiciones: cada triángulo de $T$ está inscrito en $\omega$; no hay dos triángulos de $T$ que tengan un punto interior común. Determinar todos los números reales positivos $t$ tales que, para cada entero positivo $n$, existe una colección buena de $n$ triángulos, cada uno con un perímetro mayor que $t$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $P$ un punto tal que $PB<PC$ y $PA$ es paralelo a $BC$. Sean $X$ e $Y$ puntos en las rectas $PB$ y $PC$, respectivamente, de modo que $B$ está en el segmento $PX$, $C$ está en el segmento $PY$, y $\angle PXM=\angle PYM$. Demostrar que el cuadrilátero $APXY$ es cíclico.