Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $AD = AE$. Las bisectrices perpendiculares de $BD$ y $CE$ intersecan los arcos menores $AB$ y $AC$ de $\Gamma$ en los puntos $F$ y $G$ respectivamente. Demostrar que las rectas $DE$ y $FG$ son paralelas o son la misma recta.

Consideremos $2018$ círculos que se cruzan por pares, de los cuales no hay tres que sean concurrentes. Estos círculos subdividen el plano en regiones delimitadas por $aristas$ circulares que se encuentran en $vértices$. Notemos que hay un número par de vértices en cada círculo. Dado el círculo, coloreamos alternativamente los vértices de ese círculo de rojo y azul. Al hacer esto para cada círculo, cada vértice se colorea dos veces: una por cada uno de los dos círculos que se cruzan en ese punto. Si los dos colores coinciden en un vértice, entonces se le asigna ese color; de lo contrario, se vuelve amarillo. Demostrar que, si algún círculo contiene al menos $2061$ puntos amarillos, entonces los vértices de alguna región son todos amarillos.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos distintos. El siguiente proceso infinito tiene lugar en un tablero inicialmente vacío. Si hay al menos un par de números iguales en el tablero, elegimos tal par e incrementamos uno de sus componentes por $a$ y el otro por $b$ . Si no existe tal par, escribimos dos veces el número $0$ . Demuestra que, sin importar cómo hagamos las elecciones en $(i)$ , la operación $(ii)$ se realizará solo un número finito de veces.

Sea $k$ un entero positivo. El comité organizador de un torneo de tenis debe programar los partidos para $2k$ jugadores de modo que cada dos jugadores jueguen una vez, cada día se juegue exactamente un partido, y cada jugador llegue al sitio del torneo el día de su primer partido, y se vaya el día de su último partido. Por cada día que un jugador está presente en el torneo, el comité tiene que pagar $1$ moneda al hotel. Los organizadores quieren diseñar el programa para minimizar el costo total de las estancias de todos los jugadores. Determina este costo mínimo.

Un triángulo anti-Pascal es un arreglo triangular equilátero de números tal que, excepto por los números en la fila inferior, cada número es el valor absoluto de la diferencia de los dos números inmediatamente debajo de él. Por ejemplo, el siguiente es un triángulo anti-Pascal con cuatro filas que contiene cada entero de $1$ a $10$ . \[\begin{array}{\nc@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{4pt}}c\vspace{4pt} & & & 4 & & & \\\vspace{4pt} & & 2 & & 6 & & \\\vspace{4pt} & 5 & & 7 & & 1 & \\\vspace{4pt} 8 & & 3 & & 10 & & 9 \\\vspace{4pt}\end{array}\] ¿Existe un triángulo anti-Pascal con $2018$ filas que contenga cada entero de $1$ a $1 + 2 + 3 + \dots + 2018$ ?

Sea $n$ un entero positivo dado. Sísifo realiza una secuencia de turnos en un tablero que consta de $n + 1$ casillas en una fila, numeradas de $0$ a $n$ de izquierda a derecha. Inicialmente, se colocan $n$ piedras en la casilla $0$ , y las otras casillas están vacías. En cada turno, Sísifo elige cualquier casilla no vacía, digamos con $k$ piedras, toma una de estas piedras y la mueve a la derecha a lo sumo $k$ casillas (la piedra debe permanecer dentro del tablero). El objetivo de Sísifo es mover las $n$ piedras a la casilla $n$ . Demuestra que Sísifo no puede alcanzar el objetivo en menos de \[ \left \lceil \frac{n}{1} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{3} \right \rceil + \dots + \left \lceil \frac{n}{n} \right \rceil \] turnos. (Como es usual, $\lceil x \rceil$ representa el menor entero no menor que $x$ . )

Un sitio es cualquier punto $(x, y)$ en el plano tal que $x$ e $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales a 20. Inicialmente, cada uno de los 400 sitios está desocupado. Amy y Ben se turnan para colocar piedras, comenzando Amy. En su turno, Amy coloca una nueva piedra roja en un sitio desocupado tal que la distancia entre dos sitios ocupados por piedras rojas no sea igual a $\sqrt{5}$ . En su turno, Ben coloca una nueva piedra azul en cualquier sitio desocupado. (Se permite que un sitio ocupado por una piedra azul esté a cualquier distancia de cualquier otro sitio ocupado). Se detienen tan pronto como un jugador no puede colocar una piedra. Encuentra el mayor $K$ tal que Amy puede asegurarse de colocar al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Ben coloque sus piedras azules.

Sea $n\geqslant 3$ un entero. Demostrar que existe un conjunto $S$ de $2n$ enteros positivos que satisfacen la siguiente propiedad: Para cada $m=2,3,...,n$ el conjunto $S$ se puede dividir en dos subconjuntos con sumas de elementos iguales, con uno de los subconjuntos de cardinalidad $m$.

Hallar el valor máximo de \[S = \sqrt[3]{\frac{a}{b+7}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c+7}} + \sqrt[3]{\frac{c}{d+7}} + \sqrt[3]{\frac{d}{a+7}},\] donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son números reales no negativos que satisfacen $a+b+c+d = 100$.

Sean $m,n\geq 2$ enteros. Sea $f(x_1,\dots, x_n)$ un polinomio con coeficientes reales tal que $$f(x_1,\dots, x_n)=\left\lfloor \frac{x_1+\dots + x_n}{m} \right\rfloor\text{ para cada } x_1,\dots, x_n\in \{0,1,\dots, m-1\}.$$ Demostrar que el grado total de $f$ es al menos $n$.