Determinar todas las funciones $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ que satisfacen $$\left(x+\frac{1}{x}\right)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{y}{x}\right)$$ para todo $x,y>0$.

Sea $a_0,a_1,a_2,\dots $ una secuencia de números reales tal que $a_0=0, a_1=1,$ y para cada $n\geq 2$ existe $1 \leq k \leq n$ satisfaciendo \[ a_n=\frac{a_{n-1}+\dots + a_{n-k}}{k}. \] Encuentra el valor máximo posible de $a_{2018}-a_{2017}$ .

Dado cualquier conjunto $S$ de enteros positivos, demuestre que al menos una de las siguientes dos afirmaciones es verdadera: (1) Existen subconjuntos finitos distintos $F$ y $G$ de $S$ tales que $\sum_{x\in F}1/x=\sum_{x\in G}1/x$ ; (2) Existe un número racional positivo $r<1$ tal que $\sum_{x\in F}1/x\neq r$ para todos los subconjuntos finitos $F$ de $S$ .

Encuentra todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existen números reales $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ que satisfacen $a_{n + 1} = a_1$ , $a_{n + 2} = a_2$ y $$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2},$$ para $i = 1, 2, \dots, n$ .

Sea $\mathbb{Q}_{>0}$ denota el conjunto de todos los números racionales positivos. Determine todas las funciones $f:\mathbb{Q}_{>0}\to \mathbb{Q}_{>0}$ que satisfacen $$f(x^2f(y)^2)=f(x)^2f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$

Sea $(a_i)_{i\in \mathbb{N}}$ una secuencia de enteros positivos, tal que para cualquier subconjunto finito no vacío $S$ de $\mathbb{N}$ , el entero $$\Pi_{k\in S} a_k -1$$ es primo. Demuestre que el número de $a_i$ 's con $i\in \mathbb{N}$ tales que $a_i$ tiene menos de $m$ factores primos distintos es finito.

Sea $(a_i)_{i\in \mathbb{N}}$ una secuencia con $a_1=\frac{3}2$ tal que $$a_{n+1}=1+\frac{n}{a_n}$$ Encuentre $n$ tal que $2020\le a_n <2021$

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ una secuencia finita de enteros no negativos, sus subsecuencias son las secuencias de la forma $a_i,a_{i+1},\ldots,a_j$ con $1\le i\le j \le n$. Se dice que dos subsecuencias son iguales si tienen la misma longitud y tienen los mismos términos, es decir, dos subsecuencias $a_i,a_{i+1},\ldots,a_j$ y $a_u,a_{u+1},\ldots a_v$ son iguales si y solo si $j-i=u-v$ y $a_{i+k}=a_{u+k}$ para todo entero $k$ tal que $0\le k\le j-1$. Finalmente, decimos que una subsecuencia $a_i,a_{i+1},\ldots,a_j$ es palindrómica si $a_{i+k}=a_{j-k}$ para todo entero $k$ tal que $0\le k \le j-i$ ¿Cuál es el mayor número de subsecuencias palindrómicas diferentes que puede contener una secuencia palindrómica de longitud $n$?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$, Sea $DEF$ el triángulo de contacto con $D \in (BC)$, $E \in (AC)$, $F \in (AB)$, sea $G$ la intersección de la perpendicular de $D$ a $EF$ con $AB$, y $X=(ABC)\cap (AEF)$. Demuestre que $B,D,G$ y $X$ son concíclicos.

Encuentre todos los enteros $x, y$ y $z$ mayores o iguales a $0$ tales que $2^x + 9 \cdot 7^y = z^3$