Sea $n$ un entero mayor o igual a $1$ . Encuentre, en función de $n$ , el entero más pequeño $k\ge 2$ tal que, entre cualesquiera $k$ números reales, necesariamente hay dos de los cuales la diferencia, en valor absoluto, es estrictamente menor que $1 / n$ , o estrictamente mayor que $n$ .

El emperador Zorg desea fundar una colonia en un nuevo planeta. Cada una de las $n$ ciudades que establecerá allí tendrá que hablar exactamente uno de los $2020$ idiomas oficiales del Imperio. Algunas ciudades de la colonia estarán conectadas por un enlace aéreo directo, cada enlace se puede tomar en ambas direcciones. El emperador fijó el costo del boleto para cada conexión en $1$ crédito galáctico. Desea que, dadas dos ciudades que hablen el mismo idioma, siempre sea posible viajar de una a otra a través de estos enlaces aéreos, y que el viaje más barato entre estas dos ciudades cueste exactamente $2020$ créditos galácticos. ¿Para qué valores de $n$ puede el emperador Zorg cumplir su sueño?

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB <AC$ , $\omega$ su círculo inscrito y $\Gamma$ su círculo circunscrito. Sea también $\omega_b$ el excírculo relativo al vértice $B$ , entonces $B'$ es el punto de tangencia entre $\omega_b$ y $(AC)$ . Similarmente, sea el círculo $\omega_c$ el excírculo exinscrito relativo al vértice $C$ , entonces $C'$ es el punto de tangencia entre $\omega_c$ y $(AB)$ . Finalmente, sea $I$ el centro de $\omega$ y $X$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle XAI$ es un ángulo recto. Demuestre que los triángulos $XBC'$ y $XCB'$ son congruentes.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con círculo $\Gamma$ . Sean $P,Q,R,S$ puntos distintos en el lado $BC$ , en ese orden, tal que $\angle BAP = \angle CAS$ y $\angle BAQ = \angle CAR$ . Sean $U, V, W, Z$ las intersecciones, distintas de $A$ , de $AP, AQ, AR$ y $AS$ con $\Gamma$ , respectivamente. Sean $X = UQ \cap SW$ , $Y = PV \cap ZR$ , $T = UR \cap VS$ y $K = PW \cap ZQ$ . Suponga que los puntos $M$ y $N$ están bien determinados, tal que $M = KX \cap TY$ y $N = TX \cap KY$ . Demuestre que $M, N, A$ son colineales.

Dado un entero $n \geq 3$ , determine si existen $n$ enteros $b_1, b_2, \dots , b_n$ , distintos dos a dos (es decir, $b_i \neq b_j$ para todo $i \neq j$ ) y un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros, tal que $P(b_1) = b_2, P(b_2) = b_3, \dots , P(b_{n-1}) = b_n$ y $P(b_n) = b_1$ .

En un montón hay $2021$ piedras. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan removiendo piedras del montón, alternadamente comenzando con $A$ . Un movimiento válido para $A$ consiste en remover $1, 2$ o $7$ piedras. Un movimiento válido para B es remover $1, 3, 4$ o $6$ piedras. El jugador que deja el montón vacío después de hacer un movimiento válido gana. Determine si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora. Si tal estrategia existe, explíquela.

En un club de tenis, cada miembro tiene exactamente $k > 0$ amigos, y se organiza un torneo en rondas de tal manera que cada par de amigos se enfrenta exactamente una vez. Las rondas se juegan en partidos simultáneos, eligiendo parejas hasta que no se pueda elegir más (es decir, entre las personas no elegidas, no hay un par de amigos que tenga su partido pendiente). Determine el número máximo de rondas que puede tener el torneo, dependiendo de $k$ .

Sea $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro. Las líneas $BI$ y $CI$ intersecan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $M$ y $N$ , respectivamente. Sean $C_1$ y $C_2$ las circunferencias de diámetros $NI$ e $MI$ , respectivamente. El círculo $C_1$ interseca a $AB$ en $P$ y $Q$ , y el círculo $C_2$ interseca a $AC$ en $R$ y $S$ . Demuestre que $P$ , $Q$ , $R$ y $S$ son concíclicos.

Decimos que un entero positivo es guarani si la suma del número con su inverso es un número que solo tiene dígitos impares. Por ejemplo, $249$ y $30$ son guarani, ya que $249 + 942 = 1191$ y $30 + 03 = 33$ . a) ¿Cuántos números de $2021$ dígitos son guarani? b) ¿Cuántos números de $2023$ dígitos son guarani?

Para un entero positivo $n$, la ecuación $a^2 + b^2 + c^2 + n = abc$ se da en los enteros positivos. Demostrar que:\n1. No existe una solución $(a, b, c)$ para $n = 2017$.\n2. Para $n = 2016$, $a$ es divisible por $3$ para todas las soluciones $(a, b, c)$.\n3. Hay infinitas soluciones $(a, b, c)$ para $n = 2016$.