Un entero positivo $n$ es Mozart si la representación decimal de la secuencia $1, 2, \ldots, n$ contiene cada dígito un número par de veces. Demostrar que:\n1. Todos los números Mozart son pares.\n2. Hay infinitos números Mozart.

Sea $ABC$ un triángulo para el cual $AB \neq AC$. Los puntos $K$, $L$, $M$ son los puntos medios de los lados $BC$, $CA$, $AB$. La circunferencia inscrita de $ABC$ con centro $I$ es tangente a $BC$ en $D$. Una línea que pasa por el punto medio de $ID$ perpendicular a $IK$ se encuentra con la línea $LM$ en $P$. Demostrar que $\angle PIA = 90 ^{\circ}$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo para el cual $AB \neq AC$, y sea $O$ su circuncentro. La línea $AO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $D$, y la línea $BC$ en $E$. La circunferencia circunscrita de $CDE$ se encuentra con la línea $CA$ nuevamente en $P$. Las líneas $PE$ y $AB$ se intersecan en $Q$. La línea que pasa por $O$ paralela a la línea $PE$ se interseca con la $A$ - altura de $ABC$ en $F$. Demostrar que $FP = FQ$.

Un examen fue tomado por algunos estudiantes. Cada problema valía $1$ punto por la respuesta correcta y $0$ puntos por una incorrecta. Para cada pregunta, al menos un estudiante la respondió correctamente. Además, hay dos estudiantes con diferentes puntajes en el examen. Demostrar que existe una pregunta para la cual se cumple lo siguiente: El puntaje promedio de los estudiantes que respondieron la pregunta correctamente es mayor que el puntaje promedio de los estudiantes que no lo hicieron.

Se da un tablero de $8 \times 8$, con lados dirigidos de norte a sur y de este a oeste. Se divide en celdas de $1 \times 1$ de la manera habitual. En cada celda, hay como máximo una casa. Una casa ocupa solo una celda. Una casa está en la sombra si hay una casa en cada una de las celdas en los lados sur, este y oeste de su celda. En particular, ninguna casa ubicada en el lado sur, este u oeste del tablero está en la sombra. Hallar el número máximo de casas que se pueden colocar en el tablero de modo que ninguna casa esté en la sombra.

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los reales. Hallar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$ f(x)f(y) = xf(f(y-x)) + xf(2x) + f(x^2) $$ para todo real $x, y$ .

Hallar todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales tales que $$ a^2 + ab + c = 0, $$ $$b^2 + bc + a = 0, $$ $$c^2 + ca + b = 0.$$

Hallar todas las funciones $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ tales que $f(a) + f(b)$ divide a $2(a + b - 1)$ para todo $a, b \in \mathbb{N}$. \nObservación: $\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, \ldots \} $ denota el conjunto de los enteros positivos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\angle BAC > 45^{\circ}$ con circuncentro $O$. Se elige un punto $P$ dentro del triángulo $ABC$ tal que $A, P, O, B$ son concíclicos y la línea $BP$ es perpendicular a la línea $CP$. Un punto $Q$ se encuentra en el segmento $BP$ tal que la línea $AQ$ es paralela a la línea $PO$. Demostrar que $\angle QCB = \angle PCO$.

Hay $n \ge 3$ enteros positivos escritos en una pizarra. Un movimiento consiste en elegir tres números $a, b, c$ escritos en la pizarra tales que exista un triángulo no degenerado no equilátero con lados $a, b, c$ y reemplazar esos números con $a + b - c, b + c - a$ y $c + a - b$. Demostrar que una secuencia de movimientos no puede ser infinita.