Sea $n \ge 2$ un entero, y sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales para los cuales: \n(a) $x_j > -1$ para $j = 1, 2, \ldots, n$ y \n(b) $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = n.$\nDemostrar que $$ \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{1 + x_j} \ge \sum_{j = 1}^{n} \frac{x_j}{1 + x_j^2} $$ y determinar cuándo ocurre la igualdad.

Demuestre que para cada número natural $k$ ( $k \geq 2$ ) existe un número irracional $r$ tal que para cada número natural $m$ , \[[r^m] \equiv -1 \pmod k .\] Observación. Una variante más sencilla: Encuentre $r$ como una raíz de un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros.

¿Existe una función $f : \mathbb N \to \mathbb N$ , tal que $f(f(n)) =n + 1987$ para cada número natural $n$?

En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ se encuentra con $BC$ en $L$ y se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $N$. Desde $L$ se dibujan perpendiculares a $AB$ y $AC$, con pies $K$ y $M$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales.

Sea $n\ge2$ un entero. Demuestra que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le n-2$.

Sean $\alpha,\beta,\gamma$ números reales positivos tales que $\alpha+\beta+\gamma < \pi$, $\alpha+\beta > \gamma$, $\beta+\gamma > \alpha$, $\gamma + \alpha > \beta.$ Demuestra que con los segmentos de longitudes $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma$ podemos construir un triángulo y que su área no es mayor que \[A=\dfrac 18\left( \sin 2\alpha+\sin 2\beta+ \sin 2\gamma \right).\]

Para cualquier entero $r \geq 1$, determina el entero más pequeño $h(r) \geq 1$ tal que para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, \cdots, h(r)\}$ en $r$ clases, existen enteros $a \geq 0 \; 1 \leq x \leq y$, tales que $a + x, a + y, a + x + y$ pertenecen a la misma clase.

Demuestra que existe una coloración con cuatro colores del conjunto $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$ tal que cualquier progresión aritmética con $10$ términos en el conjunto $M$ no es monocromática. Formulación alternativa Sea $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$. Demuestra que existe una función $f : M \to \{1, 2, 3, 4\}$ que no es constante en cada conjunto de $10$ términos de $M$ que forman una progresión aritmética.

Sea $p_n(k)$ el número de permutaciones del conjunto $\{1,2,3,\ldots,n\}$ que tienen exactamente $k$ puntos fijos. Demuestra que $\sum_{k=0}^nk p_n(k)=n!$.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$ . Demostrar que para todo entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , no todos cero, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$ , y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$ .