¿Cuántas palabras con $n$ dígitos se pueden formar a partir del alfabeto $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ , si los dígitos vecinos deben diferir exactamente en uno?

¿Es posible colocar $1987$ puntos en el plano euclidiano de tal manera que la distancia entre cada par de puntos sea irracional y cada tres puntos determinen un triángulo no degenerado con área racional?

Dado un triángulo no equilátero $ABC$ , con los vértices listados en sentido antihorario, encontrar el lugar geométrico de los centroides de los triángulos equiláteros $A'B'C'$ (con los vértices listados en sentido antihorario) para los cuales las ternas de puntos $A,B', C'; A',B, C';$ y $A',B', C$ son colineales.

Hallar el número de particiones del conjunto $\{1, 2, \cdots, n\}$ en tres subconjuntos $A_1,A_2,A_3$ , algunos de los cuales pueden estar vacíos, tales que se cumplan las siguientes condiciones: $(i)$ Después de que los elementos de cada subconjunto se hayan colocado en orden ascendente, cada dos elementos consecutivos de cualquier subconjunto tienen diferente paridad. $(ii)$ Si $A_1,A_2,A_3$ son todos no vacíos, entonces en exactamente uno de ellos el número mínimo es par.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos esferas con radios distintos que se tocan externamente. Las esferas se encuentran dentro de un cono $C$ , y cada esfera toca el cono en un círculo completo. Dentro del cono hay $n$ esferas sólidas adicionales dispuestas en un anillo de tal manera que cada esfera sólida toca el cono $C$ , ambas esferas $S_1$ y $S_2$ externamente, así como las dos esferas sólidas vecinas. ¿Cuáles son los posibles valores de $n$ ?

¿Existe un conjunto $M$ en el espacio euclidiano usual tal que para cada plano $\lambda$ la intersección $M \cap \lambda$ es finita y no vacía?

(a) Sea $\gcd(m, k) = 1$ . Demostrar que existen enteros $a_1, a_2, . . . , a_m$ y $b_1, b_2, . . . , b_k$ tales que cada producto $a_ib_j$ ( $i = 1, 2, \cdots ,m; \ j = 1, 2, \cdots, k$ ) da un residuo diferente cuando se divide por $mk.$\n(b) Sea $\gcd(m, k) > 1$ . Demostrar que para cualquier entero $a_1, a_2, . . . , a_m$ y $b_1, b_2, . . . , b_k$ debe haber dos productos $a_ib_j$ y $a_sb_t$ ( $(i, j) \neq (s, t)$ ) que dan el mismo residuo cuando se divide por $mk.$

Dados cinco números reales $u_0, u_1, u_2, u_3, u_4$ , demostrar que siempre es posible encontrar cinco números reales $v0, v_1, v_2, v_3, v_4$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$(i)$ $u_i-v_i \in \mathbb N, \quad 0 \leq i \leq 4$\n$(ii)$ $\sum_{0 \leq i<j \leq 4} (v_i - v_j)^2 < 4.$

Demostrar que si $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo y si $2S = a + b + c$ , entonces \[\frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{c+a} +\frac{c^n}{a+b} \geq \left(\dfrac 23 \right)^{n-2}S^{n-1} \quad \forall n \in \mathbb N \]

Encuentra, con prueba, el punto $P$ en el interior de un triángulo acutángulo $ABC$ para el cual $BL^2+CM^2+AN^2$ es un mínimo, donde $L,M,N$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC,CA,AB$ respectivamente.