Sea $ABCDEFGH$ un paralelepípedo con $AE \parallel BF \parallel CG \parallel DH$ . Demuestra la desigualdad \[AF + AH + AC \leq AB + AD + AE + AG.\] ¿En qué casos se cumple la igualdad?

¿Existe un polinomio de segundo grado $p(x, y)$ en dos variables tal que todo entero no negativo $ n $ es igual a $p(k,m)$ para un y solo un par ordenado $(k,m)$ de enteros no negativos?

En una fiesta a la que asisten $n$ parejas casadas, cada persona habla con todos los demás en la fiesta, excepto con su cónyuge. Las conversaciones involucran conjuntos de personas o camarillas $C_1, C_2, \cdots, C_k$ con la siguiente propiedad: ninguna pareja son miembros de la misma camarilla, pero para cada otro par de personas hay exactamente una camarilla a la que ambos miembros pertenecen. Demuestra que si $n \geq 4$ , entonces $k \geq 2n$ .

Sea f una función que satisface las siguientes condiciones: $(i)$ Si $x > y$ y $f(y) - y \geq v \geq f(x) - x$ , entonces $f(z) = v + z$ , para algún número $z$ entre $x$ e $y$ . $(ii)$ La ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos una solución, y entre las soluciones de esta ecuación, hay una que no es más pequeña que todas las demás soluciones; $(iii)$ $f(0) = 1$ . $(iv)$ $f(1987) \leq 1988$ . $(v)$ $f(x)f(y) = f(xf(y) + yf(x) - xy)$ . Encuentra $f(1987)$ .

Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=1$. Demuestre la siguiente desigualdad \[ \sum \frac{a}{a^3+bc} >3 . \]

Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Un círculo que contiene los puntos $B$ y $C$ se encuentra con los segmentos $BI$ y $CI$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Se sabe que $BP\cdot CQ=PI\cdot QI$. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $PQI$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Se dan un entero positivo $n$ y una secuencia infinita de fracciones propias $x_0 = \frac{a_0}{n}$ , $\ldots$ , $x_i=\frac{a_i}{n+i}$ , con $a_i < n+i$. Demuestre que existe un entero positivo $k$ y enteros $c_1$ , $\ldots$ , $c_k$ tales que \[ c_1 x_1 + \ldots + c_k x_k = 1. \]

Tienes $2$ columnas de $11$ cuadrados en el medio, a la derecha y a la izquierda tienes columnas de $9$ cuadrados (centradas en las de $11$ cuadrados), luego columnas de $7,5,3,1$ cuadrados. (Esta es la forma en que se explicó en el hilo original, http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=44430 ; de todos modos, creo que puedes entender cómo se ve) Varias torres están de pie sobre la mesa y golpean todos los cuadrados (una torre golpea el cuadrado en el que se encuentra, también). Demuestre que se pueden quitar varias torres de modo que no queden más de $11$ torres y aún así golpear toda la mesa.

En un triángulo $ABC$, sean $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ los puntos donde los excírculos tocan los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente. Demuestre que $A A_{1}$ , $B B_{1}$ y $C C_{1}$ son las longitudes de los lados de un triángulo.

Los organizadores de un congreso matemático encontraron que si acomodan a cualquier participante en una habitación, el resto puede ser acomodado en habitaciones dobles de manera que 2 personas que viven en cada habitación se conozcan entre sí. Demuestre que cada participante puede organizar una mesa redonda sobre teoría de grafos para sí mismo y un número par de otras personas, de modo que cada participante de la mesa redonda conozca a ambos vecinos.