Seis miembros del equipo de Fatalia para la Olimpiada Matemática Internacional son seleccionados de $13$ candidatos. En el TST los candidatos obtuvieron $a_1,a_2, \ldots, a_{13}$ puntos con $a_i \neq a_j$ si $i \neq j$. El líder del equipo ya tiene $6$ candidatos y ahora quiere verlos a ellos y a nadie más en el equipo. Con ese fin, construye un polinomio $P(x)$ y encuentra el potencial creativo de cada candidato mediante la fórmula $c_i = P(a_i)$. ¿Para qué mínimo $n$ puede siempre encontrar un polinomio $P(x)$ de grado no mayor que $n$ tal que el potencial creativo de los $6$ candidatos sea estrictamente mayor que el de los $7$ restantes?

Los enteros positivos $1,2,...,121$ están acomodados en los cuadrados de una tabla de $11 \times 11$. Dima encontró el producto de los números en cada fila y Sasha encontró el producto de los números en cada columna. ¿Podrían obtener el mismo conjunto de $11$ números?

Decimos que tres enteros diferentes son amigables si uno de ellos divide el producto de los otros dos. Sea $n$ un entero positivo.\na) Demuestre que, entre $n^2$ y $n^2+n$, exclusivo, no existe ningún trío de números amigables.\nb) Determine si para cada $n$ existe un trío de números amigables entre $n^2$ y $n^2+n+3\sqrt{n}$, exclusivo.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en un círculo con centro $O$. Sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $BC$, respectivamente, tales que $AD = DE = EC$. Sea $X$ la intersección de las bisectrices de $\angle ADE$ y $\angle DEC$. Si $X \neq O$, demuestre que las líneas $OX$ y $DE$ son perpendiculares.

Sea $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n$. Encuentra todos los $n$ tales que $S(n)(S(n)-1)=n-1$.

Hay $ 2016 $ posiciones marcadas alrededor de un círculo, con una ficha en una de ellas. Un movimiento legítimo es mover la ficha ya sea 1 posición o 4 posiciones desde su ubicación, en el sentido de las agujas del reloj. La restricción es que la ficha no puede ocupar la misma posición más de una vez. Los jugadores $ A $ y $ B $ se turnan para hacer movimientos. El jugador $ A $ tiene el primer movimiento. El primer jugador que no puede hacer un movimiento legítimo pierde. Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

Para cada $k= 1,2, \ldots$ sea $s_k$ el número de pares $(x,y)$ que satisfacen la ecuación $kx + (k+1)y = 1001 - k$ con $x$, $y$ enteros no negativos. Encuentra $s_1 + s_2 + \cdots + s_{200}$.

Sea $\overline{abcd}$ uno de los 9999 números $0001, 0002, 0003, \ldots, 9998, 9999$. Sea $\overline{abcd}$ un número especial si $ab-cd$ y $ab+cd$ son cuadrados perfectos, $ab-cd$ divide a $ab+cd$ y también $ab+cd$ divide a $abcd$. Por ejemplo 2016 es especial. Encuentra todos los números especiales $\overline{abcd}$. Nota: Si $\overline{abcd}=0206$, entonces $ab=02$ y $cd=06$.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. Comienza con un conjunto de $1000$ rectángulos de $1\times 2$. Un movimiento consiste en elegir dos rectángulos (un rectángulo puede consistir en uno o varios rectángulos de $1\times 2$ combinados) que comparten una longitud de lado común y combinar esos dos rectángulos en un rectángulo a lo largo de esos lados que comparten esa longitud común. El primer jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Alice se mueve primero. Describir una estrategia ganadora para Bob.

Hallar todos los pares $(a,b)$ de enteros con $a>1$ y $b>1$ tales que $a$ divide a $b+1$ y $b$ divide a $a^3-1$.