Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(xy)=\max\{f(x+y),f(x) f(y)\} ] para todos los números reales $x$ e $y$.

Llamamos a una permutación de los enteros $(1,2,\ldots,n)$ $d$ - ordenada si no contiene una subsucesión decreciente de longitud $d$. Demostrar que para cada $d=2,3,\ldots,n$, el número de permutaciones $d$ - ordenadas de $(1,2,\ldots,n)$ es a lo sumo $(d-1)^{2n}$.

Sean $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$ nueve puntos en el espacio tales que $ABCDE$, $ABFGH$ y $GFCDI$ son pentágonos regulares con lado de longitud $1$. Determinar las longitudes de los lados del triángulo $EHI$.

Hallar todos los pares $(a, b)$ de números reales con la siguiente propiedad: Dados números reales $c$ y $d$, si ambas ecuaciones $x^2+ax+1=c$ y $x^2+bx+1=d$ tienen raíces reales, entonces la ecuación $x^2+(a+b)x+1=cd$ tiene raíces reales.

Considere un tablero de $m*n$. En cada casilla hay un número entero no negativo asignado. Una operación consiste en elegir dos casillas con $1$ lado en común, y sumar a estos $2$ números el mismo número entero (puede ser negativo), de forma que ambos resultados sean no negativos. ¿Qué condiciones deben satisfacerse inicialmente en la asignación de las casillas, para tener, después de algunas operaciones, el número $0$ en cada casilla?

En un $\triangle {ABC}$, considere un punto $E$ en $BC$ tal que $AE \perp BC$. Probar que $AE=\frac{bc}{2r}$, donde $r$ es el radio de la circunferencia circunscrita, $b=AC$ y $c=AB$.

Probar que no existen números enteros positivos $x,y,z$ tales que $x^2+y^2=3z^2$.

Considere el conjunto $S$ de $100$ números: $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ... ; \frac{1}{100}$. Dos números cualesquiera, $a$ y $b$, son eliminados en $S$, y el número $a+b+ab$ es añadido. Ahora, hay $99$ números en $S$. Después de hacer esta operación $99$ veces, solo hay $1$ número en $S$. ¿Qué valores puede tomar este número?

Sea $P$ un punto fuera del círculo $C$. Hallar dos puntos $Q$ y $R$ en el círculo, tales que $P, Q$ y $R$ son colineales y $Q$ es el punto medio del segmento $PR$. (Discutir el número de soluciones).

Hallar un número entero positivo $n$ tal que, si se pone un número $2$ a la izquierda y un número $1$ a la derecha, el nuevo número es igual a $33n$.