Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y puntos $E$ y $F$ en los lados $AB,CD$ tales que $\tfrac{AB}{AE}=\tfrac{CD}{DF}=n$. Si $S$ es el área de $AEFD$ muestra que ${S\leq\frac{AB\cdot CD+n(n-1)AD^2+n^2DA\cdot BC}{2n^2}}$

Sea $n>3$ un entero positivo. El triángulo equilátero ABC se divide en $n^2$ triángulos equiláteros congruentes más pequeños (con lados paralelos a sus lados). Sea $m$ el número de rombos que contienen dos triángulos equiláteros pequeños y $d$ el número de rombos que contienen ocho triángulos equiláteros pequeños. Encuentra la diferencia $m-d$ en términos de $n$.

Encuentra todos los primos $p$ tales que existan enteros positivos $x,y$ que satisfacen $x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p$

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc = 1$. Demuestra que: $\displaystyle\prod(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\geq 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)$

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario ( $AB \neq BC \neq AC \neq AB$ ) Y O,I,H su circuncentro, incentro y ortocentro (punto de intersección de las alturas). Demuestra que 1) $\angle OIH > 90^0$ (2 puntos) 2) $\angle OIH >135^0$ (7 puntos) bolas para 1) y 2) no aditivas.

En cada vértice de un $n$ -gono regular se coloca exactamente una ficha. En cada $paso$ se pueden intercambiar dos fichas vecinas cualesquiera. Encuentra el menor número de pasos necesario para alcanzar la disposición donde cada ficha se mueve $[\frac{n}{2}]$ posiciones en el sentido de las agujas del reloj desde su posición inicial.

Los enteros positivos $1,2,...,n$ están escritos en una pizarra ( $n >2$ ). Cada minuto se borran dos números y se escribe el menor divisor primo de su suma. Al final, solo queda el número 97. Encuentra el menor $n$ para el que es posible.

Un rectángulo formado por las líneas de papel cuadriculado se divide en figuras de tres tipos: triángulos rectángulos isósceles (1) con base de dos unidades, cuadrados (2) con lado unitario y paralelogramos (3) formados por dos lados y dos diagonales de cuadrados unitarios (las figuras pueden estar orientadas de cualquier manera). Demuestra que el número de figuras del tercer tipo es par.

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con $AB=AD$, los puntos $M$ y $N$ se encuentran en los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, de modo que $MN=BM+DN$. Las líneas $AM$ y $AN$ se encuentran con la circunferencia circunscrita de $ABCD$ nuevamente en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestra que el ortocentro del triángulo $APQ$ se encuentra en el segmento $MN$.

Encuentra todos los primos $p,q$ tal que $p^3-q^7=p-q$.