Sea $\mathbb{R^+}$ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ tales que $$xf(x + y) + f(xf(y) + 1) = f(xf(x))$$ para todos los $x, y \in\mathbb{R^+}.$

Sea $p$ un número primo. Troy y Abed están jugando un juego. Troy escribe un entero positivo $X$ en el tablero y le da una secuencia $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de enteros positivos a Abed. Abed ahora hace una secuencia de movimientos. El $n$ - ésimo movimiento es el siguiente: $$\text{ Reemplazar } Y \text{ actualmente escrito en el tablero con } Y + a_n \text{ o } Y \cdot a_n.$$ Abed gana si en algún momento el número en el tablero es un múltiplo de $p$ . Determina si Abed puede ganar, independientemente de las elecciones de Troy, si $a) p = 10^9 + 7$ ; $b) p = 10^9 + 9$ . Nota : Tanto $10^9 + 7$ como $10^9 + 9$ son primos.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Una $n$ - tupla $(a_1, a_2,\ldots , a_n)$ se llama permutación si cada número del conjunto $\{1, 2, . . . , n\}$ aparece en ella exactamente una vez. Para una permutación $(p_1, p_2, . . . , p_n)$ , definimos su $k$ - mutación como la $n$ - tupla $$(p_1 + p_{1+k}, p_2 + p_{2+k}, . . . , p_n + p_{n+k}),$$ donde los índices se toman módulo $n$ . Encuentra todos los pares $(n, k)$ tales que cada dos permutaciones distintas tienen $k$ - mutaciones distintas. Nota : Por ejemplo, cuando $(n, k) = (4, 2)$ , la $2$ - mutación de $(1, 2, 4, 3)$ es $(1 + 4, 2 + 3, 4 + 1, 3 + 2) = (5, 5, 5, 5)$ .

Sea $ABCD$ un paralelogramo tal que $|AB| > |BC|$ . Sea $O$ un punto en la recta $CD$ tal que $|OB| = |OD|$ . Sea $\omega$ un círculo con centro $O$ y radio $|OC|$ . Si $T$ es la segunda intersección de $\omega$ y $CD$ , demuestra que $AT, BO$ y $\omega$ son concurrentes.

Sean \(a,b,c\) números reales positivos tales que \(ab+bc+ac = a+b+c\) . Demuestra la siguiente desigualdad: \[\sqrt{a+\frac{b}{c}} + \sqrt{b+\frac{c}{a}} + \sqrt{c+\frac{a}{b}} \leq \sqrt{2} \cdot \min \left\{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\ \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right\}.\]

Se dan dos tipos de mosaicos, representados en la figura siguiente. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que un tablero de $n\times n$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios se puede cubrir sin huecos con estos dos tipos de mosaicos (se permiten rotaciones y reflejos) de modo que no se superpongan dos mosaicos y ninguna parte de ningún mosaico cubra un área fuera del tablero de $n\times n$.

Un entero positivo $k\geqslant 3$ se llama fibby si existe un entero positivo $n$ y enteros positivos $d_1 < d_2 < \ldots < d_k$ con las siguientes propiedades: $\bullet$ $d_{j+2}=d_{j+1}+d_j$ para cada $j$ que satisface $1\leqslant j \leqslant k-2$ , $\bullet$ $d_1, d_2, \ldots, d_k$ son divisores de $n$ , $\bullet$ cualquier otro divisor de $n$ es menor que $d_1$ o mayor que $d_k$ . Encuentra todos los números fibby.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ respectivamente. Sea $F$ el punto tal que $D$ es el punto medio de $\overline{EF}$ . Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $FDB$ . Sea $G$ un punto en el segmento $\overline{CD}$ tal que el punto medio de $\overline{BG}$ se encuentra en $\Gamma$ . Demuestra que el cuadrilátero $BHGC$ es cíclico.

Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes racionales, de grado $d \ge 2$ , definimos la secuencia de conjuntos $f^0(\mathbb{Q}), f^1(\mathbb{Q}), \ldots$ como $f^0(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$ , $f^{n+1}(\mathbb{Q})=f(f^{n}(\mathbb{Q}))$ para $n\ge 0$ . (Dado un conjunto $S$ , escribimos $f(S)$ para el conjunto $\{f(x)\mid x\in S\})$ . Sea $f^{\omega}(\mathbb{Q})=\bigcap_{n=0}^{\infty} f^n(\mathbb{Q})$ el conjunto de números que están en todos los conjuntos $f^n(\mathbb{Q})$ , $n\geq 0$ . Demostrar que $f^{\omega}(\mathbb{Q})$ es un conjunto finito.

Sea $n$ un entero positivo dado. Se dice que un conjunto $K$ de puntos con coordenadas enteras en el plano está conectado si para cada par de puntos $R, S\in K$ , existe un entero positivo $\ell$ y una secuencia $R=T_0,T_1, T_2,\ldots ,T_{\ell}=S$ de puntos en $K$ , donde cada $T_i$ está a distancia $1$ de $T_{i+1}$ . Para tal conjunto $K$ , definimos el conjunto de vectores \[\Delta(K)=\{\overrightarrow{RS}\mid R, S\in K\}\] ¿Cuál es el valor máximo de $|\Delta(K)|$ sobre todos los conjuntos conectados $K$ de $2n+1$ puntos con coordenadas enteras en el plano?