Determinar si existe un polinomio $f(x_1, x_2)$ con dos variables, con coeficientes enteros, y dos puntos $A=(a_1, a_2)$ y $B=(b_1, b_2)$ en el plano, satisfaciendo las siguientes condiciones: \n(i) $A$ es un punto entero (es decir, $a_1$ y $a_2$ son enteros); \n(ii) $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|=2010$ ; \n(iii) $f(n_1, n_2)>f(a_1, a_2)$ para todos los puntos enteros $(n_1, n_2)$ en el plano distintos de $A$ ; \n(iv) $f(x_1, x_2)>f(b_1, b_2)$ para todos los puntos enteros $(x_1, x_2)$ en el plano distintos de $B$ .

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero sin ningún par de lados paralelos. Para cada $i=1, 2, 3, 4$ , defina $\omega_1$ como el círculo que toca el cuadrilátero externamente, y que es tangente a las líneas $A_{i-1}A_i, A_iA_{i+1}$ y $A_{i+1}A_{i+2}$ (los índices se consideran módulo $4$ de modo que $A_0=A_4, A_5=A_1$ y $A_6=A_2$ ) . Sea $T_i$ el punto de tangencia de $\omega_i$ con el lado $A_iA_{i+1}$ . Demostrar que las líneas $A_1A_2, A_3A_4$ y $T_2T_4$ son concurrentes si y sólo si las líneas $A_2A_3, A_4A_1$ y $T_1T_3$ son concurrentes.

Para cada entero positivo $n$ , encontrar el mayor número real $C_n$ con la siguiente propiedad. Dado cualquier $n$ funciones con valores reales $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ definidas en el intervalo cerrado $0 \le x \le 1$ , uno puede encontrar números $x_1, x_2, \cdots x_n$ , tal que $0 \le x_i \le 1$ satisfaciendo \[|f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots f_n(x_n)-x_1x_2\cdots x_n| \ge C_n\]

Para un conjunto finito no vacío de primos $P$ , sea $m(P)$ el mayor número posible de enteros positivos consecutivos, cada uno de los cuales es divisible por al menos un miembro de $P$ . \n(i) Demostrar que $|P|\le m(P)$ , con igualdad si y sólo si $\min(P)>|P|$ . \n(ii) Demostrar que $m(P)<(|P|+1)(2^{|P|}-1)$ . (El número $|P|$ es el tamaño del conjunto $P$ )

Para un entero $n \geq 3$ definimos la secuencia $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ como la secuencia de exponentes en la factorización prima de $n! = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \ldots p_k^{\alpha_k}$, donde $p_1 < p_2 < \ldots < p_k$ son primos. Determine todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ es una progresión geométrica.

Determine todos los enteros $n \geq 2$ tales que existe una permutación $x_0, x_1, \ldots, x_{n - 1}$ de los números $0, 1, \ldots, n - 1$ con la propiedad de que los $n$ números $$x_0, \hspace{0.3cm} x_0 + x_1, \hspace{0.3cm} \ldots, \hspace{0.3cm} x_0 + x_1 + \ldots + x_{n - 1}$$ son distintos por pares módulo $n$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$, circuncentro $O$ y circuncírculo $\Gamma$. Sean las tangentes a $\Gamma$ en $B$ y $C$ que se encuentran en $D$, y sea la línea $AO$ que intersecta a $BC$ en $E$. Denotemos el punto medio de $BC$ por $M$ y sea $AM$ que encuentra a $\Gamma$ nuevamente en $N \neq A$. Finalmente, sea $F \neq A$ un punto en $\Gamma$ tal que $A, M, E$ y $F$ son concíclicos. Demuestre que $FN$ biseca el segmento $MD$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$ y circuncírculo $\Gamma$. Sea $M$ el punto medio del arco más corto $BC$ de $\Gamma$, y sea $D$ la intersección de los rayos $AC$ y $BM$. Sea $E \neq C$ la intersección de la bisectriz interna del ángulo $ACB$ y el circuncírculo del triángulo $BDC$. Asumamos que $E$ está dentro del triángulo $ABC$ y que hay una intersección $N$ de la línea $DE$ y el círculo $\Gamma$ tal que $E$ es el punto medio del segmento $DN$. Muestre que $N$ es el punto medio del segmento $I_B I_C$, donde $I_B$ e $I_C$ son los excentros de $ABC$ opuestos a $B$ y $C$, respectivamente.

Sea $n \geq 3$ un entero. Una secuencia $P_1, P_2, \ldots, P_n$ de puntos distintos en el plano se llama buena si no hay tres de ellos colineales, la polilínea $P_1P_2 \ldots P_n$ no se auto-intersecta y el triángulo $P_iP_{i + 1}P_{i + 2}$ está orientado en sentido antihorario para cada $i = 1, 2, \ldots, n - 2$. Para cada entero $n \geq 3$, determine el entero $k$ más grande posible con la siguiente propiedad: existen $n$ puntos distintos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en el plano para los cuales hay $k$ permutaciones distintas $\sigma : \{1, 2, \ldots, n\} \to \{1, 2, \ldots, n\}$ tales que $A_{\sigma(1)}, A_{\sigma(2)}, \ldots, A_{\sigma(n)}$ es buena. (Una polilínea $P_1P_2 \ldots P_n$ consta de los segmentos $P_1P_2, P_2P_3, \ldots, P_{n - 1}P_n$.)

Hay una lámpara en cada celda de un tablero de $2017 \times 2017$. Cada lámpara está encendida o apagada. Una lámpara se llama mala si tiene un número par de vecinos que están encendidos. ¿Cuál es el número posible más pequeño de lámparas malas en dicho tablero? (Dos lámparas son vecinas si sus respectivas celdas comparten un lado.)