Determine la constante real posible más pequeña $C$ tal que la desigualdad $$|x^3 + y^3 + z^3 + 1| \leq C|x^5 + y^5 + z^5 + 1|$$ se cumple para todos los números reales $x, y, z$ que satisfacen $x + y + z = -1$.

Determine todos los pares de polinomios $(P, Q)$ con coeficientes reales que satisfacen $$P(x + Q(y)) = Q(x + P(y))$$ para todos los números reales $x$ e $y$.

Determine el valor posible más pequeño de $$|2^m - 181^n|,$$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo. Sea $P$ la intersección de las líneas $CE$ y $BD$. Asuma que $\angle PAD = \angle ACB$ y $\angle CAP = \angle EDA$. Demuestre que los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $ADE$ son colineales con $P$.

Sea $n \geq 3$ un entero. Un etiquetado de los $n$ vértices, los $n$ lados y el interior de un $n$-gono regular por $2n + 1$ enteros distintos se llama memorable si se cumplen las siguientes condiciones: (a) Cada lado tiene una etiqueta que es la media aritmética de las etiquetas de sus puntos extremos. (b) El interior del $n$-gono tiene una etiqueta que es la media aritmética de las etiquetas de todos los vértices. Determine todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existe un etiquetado memorable de un $n$-gono regular que consta de $2n + 1$ enteros consecutivos.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen $$f(x^2 + f(x)f(y)) = xf(x + y)$$ para todos los números reales $x$ e $y$.

Una secuencia $(u_{n})$ está definida por \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{para } n=1,\ldots \] Demuestra que para cualquier entero positivo $n$ tenemos \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde $[x]$ denota el entero más pequeño $\leq x)$

Demostrar que para cada entero positivo $k$ existe una base numérica $b$ junto con $k$ ternas de números de Fibonacci $(F_u,F_v,F_w)$ tales que cuando se escriben en base $b$, su concatenación es también un número de Fibonacci escrito en base $b$. (Los números de Fibonacci están definidos por $F_1 = F_2 = 1$ y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para todos los enteros positivos $n$.)

Determinar todos los polinomios $f$ con coeficientes enteros tales que $f(p)$ es un divisor de $2^p-2$ para cada primo impar $p$.

Fije enteros $n\ge k\ge 2$. Llamamos a una colección de monedas con valores enteros $n-diversa$ si ningún valor ocurre en ella más de $n$ veces. Dada tal colección, un número $S$ es $n-alcanzable$ si esa colección contiene $n$ monedas cuya suma de valores es igual a $S$. Encuentre el entero positivo más pequeño $D$ tal que para cualquier colección $n$ - diversa de $D$ monedas haya al menos $k$ números que sean $n$ - alcanzables.