Llame a un punto en el plano cartesiano con coordenadas enteras un $punto$ $reticular$. Dado un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos reticulares, realizamos repetidamente la siguiente operación: dados dos puntos reticulares distintos $A, B$ en $\mathcal{S}$ y dos puntos reticulares distintos $C, D$ no en $\mathcal{S}$ tales que $ACBD$ es un paralelogramo con $AB > CD$, reemplazamos $A, B$ por $C, D$. Demuestre que solo se pueden realizar un número finito de tales operaciones.

Llame a un punto en el plano cartesiano con coordenadas enteras un $punto$ $reticular$. Dado un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos reticulares, realizamos repetidamente la siguiente operación: dados dos puntos reticulares distintos $A, B$ en $\mathcal{S}$ y dos puntos reticulares distintos $C, D$ no en $\mathcal{S}$ tales que $ACBD$ es un paralelogramo con $AB > CD$, reemplazamos $A, B$ por $C, D$. Demuestre que solo se pueden realizar un número finito de tales operaciones.

Una hormiga camina por el suelo de una trayectoria circular de radio $r$ y se mueve en línea recta, pero a veces se detiene. Cada vez que se detiene, antes de reanudar la marcha, gira $60^o$ alternando la dirección (si la última vez giró $60^o$ a su derecha, la siguiente lo hace $60^o$ a su izquierda, y viceversa). Encuentra la longitud máxima posible del camino que recorre la hormiga. Demuestra que la longitud encontrada es, de hecho, lo más larga posible. Figura: gira $60^o$ a la derecha .

Dado un cuadrado de lado $1$ . Demuestra que para cada conjunto finito de puntos de los lados del cuadrado se puede encontrar un vértice del cuadrado con la siguiente propiedad: la media aritmética de los cuadrados de las distancias desde este vértice a los puntos del conjunto es mayor o igual que $3/4$ .

Sea $A$ un número de seis dígitos, tres de los cuales están coloreados e iguales a $1, 2$ y $4$ . Demuestra que siempre es posible obtener un número que sea múltiplo de $7$ , realizando solo una de las siguientes operaciones: ya sea eliminar las tres cifras coloreadas, o escribir todos los números de $A$ en algún orden.

Hay $1999$ bolas en una fila, algunas son rojas y otras azules (podría ser todas rojas o todas azules). Debajo de cada bola escribimos un número igual a la suma de la cantidad de bolas rojas a la derecha de esta bola más la suma de la cantidad de bolas azules que están a la izquierda de esta bola. En la secuencia de números que obtenemos con estas bolas tenemos exactamente tres números que aparecen un número impar de veces, ¿cuáles podrían ser estos tres?

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$ . Construye un punto $P$ en la hipotenusa $BC$ tal que si $Q$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$ al lado $AC$ , entonces el área del cuadrado de lado $PQ$ es igual al área del rectángulo de lados $PB$ y $PC$ . Muestra los pasos de la construcción.

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ tal que las $73$ fracciones $\frac{19}{n+21}, \frac{20}{n+22},\frac{21}{n+23},...,\frac{91}{n+93}$ son todas irreducibles.

Una tabla de $5 \times 5$ se llama regular si cada una de sus celdas contiene uno de cuatro números reales distintos por pares, de tal manera que cada uno de ellos ocurre exactamente uno en cada subtabla de $2 \times 2$. La suma de todos los números de una tabla regular se llama la suma total de la tabla. Con cuatro números cualesquiera, uno construye todas las tablas regulares posibles, calcula sus sumas totales y cuenta los resultados distintos. Determina el máximo conteo posible.

Encuentra todas las ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que el número $$N = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2} + 2$$ es una potencia de $2016$. (Una potencia de $2016$ es un entero de la forma $2016^n$, donde n es un entero no negativo.)