Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestra que $\frac{8}{(a+b)^2 + 4abc} + \frac{8}{(b+c)^2 + 4abc} + \frac{8}{(a+c)^2 + 4abc} + a^2 + b^2 + c ^2 \ge \frac{8}{a+3} + \frac{8}{b+3} + \frac{8}{c+3}$.

Un trapecio $ABCD$ ( $AB || CF$ , $AB > CD$ ) está circunscrito. El incírculo del triángulo $ABC$ toca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Demuestra que el incentro del trapecio $ABCD$ se encuentra en la línea $MN$.

Una forma L es una de las siguientes cuatro piezas, cada una consta de tres cuadrados unitarios: [asy]\nsize(300);\ndefaultpen(linewidth(0.8));\npath P=(1,2)--(0,2)--origin--(1,0)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--(0,1);\ndraw(P);\ndraw(shift((2.7,0))*rotate(90,(1,1))*P);\ndraw(shift((5.4,0))*rotate(180,(1,1))*P);\ndraw(shift((8.1,0))*rotate(270,(1,1))*P);\n[/asy] Un tablero de $5\times 5$, que consta de $25$ cuadrados unitarios, un entero positivo $k\leq 25$ y un suministro ilimitado de formas L son dados. Dos jugadores A y B, juegan el siguiente juego: comenzando con A, juegan alternativamente marcando un cuadrado unitario previamente sin marcar hasta que marquen un total de $k$ cuadrados unitarios. Decimos que una colocación de formas L en cuadrados unitarios sin marcar se llama $\textit{buena}$ si las formas L no se superponen y cada una de ellas cubre exactamente tres cuadrados unitarios sin marcar del tablero. B gana si cada colocación $\textit{buena}$ de formas L deja al descubierto al menos tres cuadrados unitarios sin marcar. Determine el valor mínimo de $k$ para el cual B tiene una estrategia ganadora.

Sea $n\ge 1$ un entero positivo. Un cuadrado de lado $n$ está dividido por líneas paralelas a cada lado en $n^2$ cuadrados de lado $1$. Encuentra el número de paralelogramos que tienen vértices entre los vértices de los $n^2$ cuadrados de lado $1$, con ambos lados menores o iguales a $2$, y que tienen el área igual a $2$. (Grecia)

Se colocan enteros positivos en la siguiente tabla.\n\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\hline\n1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & & \\\n\hline\n2 & 5 & 9 & 14 & 20 & 27 & 35 & 44 & & \\\n\hline\n4 & 8 & 13 & 19 & 26 & 34 & 43 & 53 & & \\\n\hline\n7 & 12 & 18 & 25 & 33 & 42 & & & & \\\n\hline\n11 & 17 & 24 & 32 & 41 & & & & & \\\n\hline\n16 & 23 & & & & & & & & \\\n\hline\n... & & & & & & & & & \\\n\hline\n... & & & & & & & & & \\\n\end{tabular} Encuentra el número de la fila y la columna donde se encuentra el número $2015$.

Se dan $2015$ puntos en un plano tal que de cada cinco puntos podemos elegir dos puntos con distancia menor que $1$ unidad. Demuestra que $504$ de los puntos dados se encuentran en un disco unitario.

Un tablero de $ n \times n$ ( $n \ge 3$ ) está dividido en $n^2$ cuadrados unitarios. Enteros desde $O$ hasta $n$ incluidos, están escritos: un entero en cada cuadrado unitario, de tal manera que las sumas de enteros en cada cuadrado de $2\times 2$ del tablero son diferentes. Encontrar todos los $n$ para los cuales existen tales tableros.

Comprobar si existen enteros positivos $ a, b$ y un número primo $p$ tal que $a^3-b^3=4p^2$

Encontrar todos los números primos $a,b,c$ y enteros positivos $k$ que satisfacen la ecuación \[a^2+b^2+16c^2 = 9k^2 + 1.\]

a) Demostrar que el producto de todas las diferencias de posibles parejas de seis enteros positivos dados es divisible por $960$\nb) Demostrar que el producto de todas las diferencias de posibles parejas de seis enteros positivos dados es divisible por $34560$