Demuestra que para cada punto $M$ en la superficie de un tetraedro regular existe un punto $M'$ tal que hay al menos tres curvas diferentes en la superficie que unen $M$ a $M'$ con la longitud más pequeña posible entre todas las curvas en la superficie que unen $M$ a $M'$ .

Determina el radio de una esfera $S$ que pasa a través de los centroides de cada cara de un tetraedro dado $T$ inscrito en una esfera unitaria con centro $O$ . También, determina la distancia desde $O$ hasta el centro de $S$ como una función de los lados de $T.$

Sea $A$ un conjunto de $n$ puntos en el espacio. De la familia de todos los segmentos con extremos en $A$ , $q$ segmentos han sido seleccionados y coloreados de amarillo. Suponga que todos los segmentos amarillos son de diferente longitud. Demuestra que existe una línea poligonal compuesta de $m$ segmentos amarillos, donde $m \geq \frac{2q}{n}$ , dispuestos en orden de longitud creciente.

Los enteros positivos $x_1, \cdots , x_n$ , $n \geq 3$ , satisfacen $x_1 < x_2 <\cdots< x_n < 2x_1$ . Sea $P = x_1x_2 \cdots x_n.$ Demuestra que si $p$ es un número primo, $k$ un entero positivo, y $P$ es divisible por $p^k$ , entonces $\frac{P}{p^k} \geq n!.$

Sea $x_n = \sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}.$ Demuestra que \[x_{n+1}-x_n <\frac{1}{n!} \quad n=2,3,\cdots\]

Sea $D$ el interior del círculo $C$ y sea $A \in C$. Muestre que la función $f : D \to \mathbb R, f(M)=\frac{|MA|}{|MM'|}$ donde $M' = AM \cap C$, es estrictamente convexa; i.e., $f(P) <\frac{f(M_1)+f(M_2)}{2}, \forall M_1,M_2 \in D, M_1 \neq M_2$ donde $P$ es el punto medio del segmento $M_1M_2.$

Cada uno de los números en el conjunto $N = \{1, 2, 3, \cdots, n - 1\}$, donde $n \geq 3$, se colorea con uno de dos colores, digamos rojo o negro, de modo que: (i) $i$ y $n - i$ siempre reciben el mismo color, y (ii) para algún $j \in N$, relativamente primo con $n$, $i$ y $|j - i|$ reciben el mismo color para todo $i \in N, i \neq j.$ Demuestre que todos los números en $N$ deben recibir el mismo color.

Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i-0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demuestre que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_{1}}+Q_{i_{2}}+\ldots+Q_{i_{n}})\ge o(Q_{i_{1}}). \]

Un poliedro tiene $12$ caras y es tal que: (i) todas las caras son triángulos isósceles, (ii) todas las aristas tienen longitud $x$ o $y$, (iii) en cada vértice se encuentran $3$ o $6$ aristas, y (iv) todos los ángulos diedros son iguales. Encuentre la razón $x/y.$

Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $26$, demuestre que el conjunto tiene cuatro elementos distintos cuya media geométrica es un entero.