Un círculo cuyo centro está en el lado $ED$ del cuadrilátero cíclico $BCDE$ toca los otros tres lados. Demuestra que $EB+CD = ED.$

¿Para cuáles enteros $n \geq 3$ existe un $n$-gono regular en el plano tal que todos sus vértices tienen coordenadas enteras en un sistema de coordenadas rectangulares?

Sean $x_1, x_2, \cdots , x_n$ números positivos. Demuestra que \[\frac{x_1^2}{x_1^2+x_2x_3} + \frac{x_2^2}{x_2^2+x_3x_4} + \cdots +\frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}^2+x_nx_1} +\frac{x_n^2}{x_n^2+x_1x_2} \leq n-1\]

La secuencia $f_1, f_2, \cdots, f_n, \cdots $ de funciones se define para $x > 0$ recursivamente por \[f_1(x)=x , \quad f_{n+1}(x) = f_n(x) \left(f_n(x) + \frac 1n \right)\] Demuestra que existe uno y solo un número positivo $a$ tal que $0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1$ para todos los enteros $n \geq 1.$

Si es posible, construir un triángulo equilátero cuyos tres vértices estén en tres círculos dados.

Sean $K$ y $K'$ dos cuadrados en el mismo plano, sus lados de igual longitud. ¿Es posible descomponer $K$ en un número finito de triángulos $T_1, T_2, \ldots, T_p$ con interiores mutuamente disjuntos y encontrar traslaciones $t_1, t_2, \ldots, t_p$ tales que \[K'=\bigcup_{i=1}^{p} t_i(T_i) \ ?\]

Un conjunto de $1985$ puntos está distribuido alrededor de la circunferencia de un círculo y cada uno de los puntos está marcado con $1$ o $-1$ . Un punto se llama 'bueno' si las sumas parciales que se pueden formar comenzando en ese punto y avanzando alrededor del círculo a cualquier distancia en cualquier dirección son todas estrictamente positivas. Demuestra que si el número de puntos marcados con $-1$ es menor que $662$ , debe haber al menos un punto bueno.

Sean $m$ cajas dadas, con algunas bolas en cada caja. Sea $n < m$ un entero dado. Se realiza la siguiente operación: se eligen $n$ de las cajas y se coloca $1$ bola en cada una de ellas. Demuestra:\n(a) Si $m$ y $n$ son relativamente primos, entonces es posible, realizando la operación un número finito de veces, llegar a la situación en que todas las cajas contengan el mismo número de bolas.\n(b) Si $m$ y $n$ no son relativamente primos, existen distribuciones iniciales de bolas en las cajas tales que no es posible lograr una distribución igual.

Una secuencia de polinomios $P_m(x, y, z), m = 0, 1, 2, \cdots$ , en $x, y$ , y $z$ se define por $P_0(x, y, z) = 1$ y por \[P_m(x, y, z) = (x + z)(y + z)P_{m-1}(x, y, z + 1) - z^2P_{m-1}(x, y, z)\] para $m > 0$ . Demuestra que cada $P_m(x, y, z)$ es simétrico, en otras palabras, no se altera por ninguna permutación de $x, y, z.$

Encuentra un método mediante el cual se puedan calcular los coeficientes de $P(x) = x^6 + a_1x^5 + \cdots+ a_6$ a partir de las raíces de $P(x) = 0$ realizando no más de $15$ sumas y $15$ multiplicaciones.