Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$ , cuyo cateto mide $1$ cm. La bisectriz del ángulo $BAC$ corta la hipotenusa en $R$ , la perpendicular a $AR$ en $R$ , corta el lado $AB$ en su punto medio. Encontrar la medida del lado $AB$ .

Diez cartulinas cuadradas de $3$ centímetros de lado se cortan por una línea, como se indica en la figura. Después de los cortes, hay $20$ piezas: $10$ triángulos y $10$ trapezoides. Ensamblar un cuadrado que use las $20$ piezas sin superposiciones ni huecos.

En un paralelogramo $ABCD$ , $BD$ es la diagonal más larga. Al hacer coincidir $B$ con $D$ mediante un doblez, se forma un pentágono regular. Calcular las medidas de los ángulos formados por la diagonal $BD$ con cada uno de los lados del paralelogramo.

$ABCD$ es un cuadrado de centro $O$ . Sobre los lados $DC$ y $AD$ se han construido los triángulos equiláteros DAF y DCE. Decidir si el área del triángulo $EDF$ es mayor, menor o igual al área del triángulo $DOC$.

En el rectángulo $ABCD, M, N, P$ y $Q$ son los puntos medios de los lados. Si el área del triángulo sombreado es $1$ , calcular el área del rectángulo $ABCD$ .

Un terreno ( $ABCD$ ) tiene forma de trapecio rectangular. El ángulo en $A$ mide $90^o$ . $AB$ mide $30$ m, $AD$ mide $20$ m y $DC$ mide 45 m. Este terreno debe dividirse en dos áreas de la misma área, trazando una paralela al lado $AD$ . ¿A qué distancia de $D$ tenemos que trazar la paralela?

Una tortuga camina $60$ metros por hora y una lagartija camina a $240$ metros por hora. Hay un rectángulo $ABCD$ donde $AB =60$ y $AD =120$ . Ambos parten del vértice $A$ y en la misma dirección ( $A \to B \to D \to A$ ) , recorriendo el borde del rectángulo. La lagartija tiene la costumbre de avanzar dos lados consecutivos del rectángulo, girar para retroceder uno, girar para avanzar dos, girar para retroceder uno y así sucesivamente. ¿Cuántas veces y en qué lugares se encuentran la tortuga y la lagartija cuando la tortuga completa su tercera vuelta?

Tenemos cuatro triángulos equiláteros blancos de $3$ cm de lado y los unimos por sus lados para obtener una pirámide de base triangular. En cada arista de la pirámide marcamos dos puntos rojos que la dividen en tres partes iguales. Numerar los puntos rojos, de modo que al recorrerlos en el orden en que fueron numerados, resulte un camino con el perímetro más pequeño posible. ¿Cuánto mide ese camino?

Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e intersecta los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en puntos distintos $K$ y $N$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (aparte de $B$). Demuestra que $\angle OMB=90^{\circ}$.

Las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ se encuentran en $X$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Demuestra que (a) $\angle BAM = \angle CAX$, y (b) $\frac{AM}{AX} = \cos\angle BAC.$