Tres circunferencias son tangentes entre sí, como se muestra en la figura. La región del círculo exterior que no está cubierta por los dos círculos interiores tiene un área igual a $2 \pi$ . Determine la longitud del segmento $PQ$ .

Sea $ABF$ un triángulo rectángulo con $\angle AFB = 90$ , un cuadrado $ABCD$ es externo al triángulo. Si $FA = 6$ , $FB = 8$ y $E$ es el circuncentro del cuadrado $ABCD$ , determinar el valor de $EF$

Tienes un pentágono de papel, $ABCDE$ , tal que $AB = BC = 3$ cm, $CD = DE= 5$ cm, $EA = 4$ cm, $\angle ABC = 100^o$ , $ \angle CDE = 80^o$ . Tienes que dividir el pentágono en cuatro triángulos, mediante tres cortes rectos, de modo que con los cuatro triángulos se arme un rectángulo, sin huecos ni superposiciones. (Los triángulos pueden ser rotados y / o girados.)

Un rectángulo de papel de $3$ cm por $9$ cm se dobla a lo largo de una línea recta, haciendo coincidir dos vértices opuestos. De esta forma se forma un pentágono. Calcular su área.

Hay dos figuras de papel: un triángulo equilátero y un rectángulo. La altura del rectángulo es igual a la altura del triángulo y la base del rectángulo es igual a la base del triángulo. Divide el triángulo en tres partes y el rectángulo en dos, usando cortes rectos, de modo que con las cinco piezas se pueda armar, sin huecos ni superposiciones, un triángulo equilátero. Para armar la figura, cada parte puede ser rotada y / o girada.

En un cuadrado $ABCD$ de diagonales $AC$ y $BD$ , llamamos $O$ al centro del cuadrado. Se construye un cuadrado $PQRS$ con lados paralelos a los de $ABCD$ con $P$ en el segmento $AO, Q$ en el segmento $BO, R$ en el segmento $CO, S$ en el segmento $DO$ . Si el área de $ABCD$ es igual a dos veces el área de $PQRS$ , y $M$ es el punto medio del lado $AB$ , calcular la medida del ángulo $\angle AMP$ .

Dentro de un cuadrado de $11\times 11$ , Pablo dibujó un rectángulo y extendiendo sus lados dividió el cuadrado en $5$ rectángulos, como se muestra en la figura. Sofía hizo lo mismo, pero también logró que las longitudes de los lados de los $5$ rectángulos fueran números enteros entre $1$ y $10$ , todos diferentes. Muestra una figura como la que hizo Sofía.

El triángulo $ABC$ es recto en $A$ y $R$ es el punto medio de la hipotenusa $BC$ . Sobre el cateto mayor $AB$ se marca el punto $P$ tal que $CP = BP$ y sobre el segmento $BP$ se marca el punto $Q$ tal que el triángulo $PQR$ es equilátero. Si el área del triángulo $ABC$ es $27$ , calcular el área del triángulo $PQR$.

Una hoja rectangular de papel (blanca por un lado y gris por el otro) se dobló tres veces, como se muestra en la figura: El rectángulo $1$ , que era blanco después del primer pliegue, tiene $20$ cm más de perímetro que el rectángulo $2$ , que era blanco después del segundo pliegue, y este a su vez tiene $16$ cm más de perímetro que el rectángulo $3$ , que era blanco después del tercer pliegue. Determinar el área de la hoja.

Tomemos un rectángulo de papel $ABCD$ ; el lado $AB$ mide $5$ cm y el lado $BC$ mide $9$ cm. Hacemos tres pliegues: 1. Tomamos el lado $AB$ sobre el lado $BC$ y llamamos $P$ al punto en el lado $BC$ que coincide con $A$ . Entonces se forma un trapecio rectángulo $BCDQ$ . 2. Doblamos para que $B$ y $Q$ coincidan. Se forma un polígono de $5$ lados $RPCDQ$ . 3. Doblamos nuevamente haciendo coincidir $D$ con $C$ y $Q$ con $P$ . Un nuevo trapecio rectángulo $RPCS$ . Después de hacer estos pliegues, hacemos un corte perpendicular a $SC$ por su punto medio $T$ , obteniendo el trapecio rectángulo $RUTS$ . Calcular el área de la figura que aparece al desplegar el último trapecio $RUTS$ .