$CL$ es la bisectriz de $\angle C$ de $ABC$ e interseca a la circunferencia circunscrita en $K$. $I$ es el incentro de $ABC$. $IL=LK$. Demuestra que $CI=IK$.

¿Existe una secuencia $(a_n)$ de números naturales, tal que las diferencias $\{a_{n+1}-a_n\}$ tomen cada valor natural y solo una vez, y las diferencias $\{a_{n+2}-a_n\}$ tomen cada valor natural mayor que $2015$ y solo una vez?

Hay un número natural $n>1$ en la pizarra. La operación consiste en sumar al número en la pizarra su máximo divisor no trivial. Demuestra que después de algunas operaciones obtenemos un número que es divisible por $3^{2000}$.

Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que en la representación decimal de cada uno de los números $\sqrt{n}$ , $\sqrt[3]{n},..., \sqrt[10]{n}$ los dígitos $2015$ aparecen inmediatamente después del punto decimal.

$D$ es el punto medio de $AC$ para $\triangle ABC$. Las bisectrices de $\angle ACB, \angle ABD$ son perpendiculares. Encuentra el valor máximo para $\angle BAC$.

Llamamos a un número gracioso si es divisible por la suma de sus dígitos $+1$. (Por ejemplo, $ 1+2+1|12$, entonces $12$ es gracioso) ¿Cuál es el número máximo de números graciosos consecutivos?

Hay $100$ números reales diferentes. Demuestra que podemos colocarlos en una tabla de $10 \times 10$, de tal manera que la diferencia entre dos números en celdas con un lado común no sea igual a $1$.

Hay $\frac{k(k+1)}{2}+1$ puntos en los planos, algunos están conectados por segmentos disjuntos (también un punto no puede estar en un segmento que conecta otros dos puntos). Es cierto que el plano está dividido en algunos paralelogramos y una región infinita. ¿Cuál es el número máximo de segmentos que se pueden dibujar?

En $\triangle ABC$ los puntos $M,O$ son el punto medio de $AB$ y el circuncentro. Es cierto que $OM=R-r$. La bisectriz del $\angle A$ externo intersecta a $BC$ en $D$ y la bisectriz del $\angle C$ externo intersecta a $AB$ en $E$. Encuentra los valores posibles de $\angle CED$.

Sean $0 \leq b \leq c \leq d \leq a$ y $a>14$ enteros. Demuestra que existe un $n$ natural tal que no puede ser representado como $$n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d)$$ donde $x,y,z$ son algunos enteros.