Hay un número natural $n>1$ en la pizarra. La operación consiste en sumar al número en la pizarra su máximo divisor no trivial. Demuestra que después de algunas operaciones obtenemos un número que es divisible por $3^{2000}$.

Sea $n!=ab^2$ donde $a$ está libre de cuadrados. Demuestra que para cada $\epsilon>0$ para cada $n$ suficientemente grande es cierto que $$2^{(1-\epsilon)n}<a<2^{(1+\epsilon)n}$$

$P(x,y)$ es un polinomio con coeficientes reales y $P(x+2y,x+y)=P(x,y)$. Demuestra que existe un polinomio $Q(t)$ tal que $P(x,y)=Q((x^2-2y^2)^2)$.

$D$ es el punto medio de $AC$ para $\triangle ABC$. Las bisectrices de $\angle ACB, \angle ABD$ son perpendiculares. Encuentra el valor máximo para $\angle BAC$.

En el entrenamiento de fútbol había $n$ futbolistas: delanteros y porteros. Hicieron $k$ goles. Demuestra que el entrenador principal puede dar a cada futbolista un número de equipo del $1$ al $n$ tal que, para cada gol, la diferencia entre el número de equipo del delantero y el número de equipo del portero es mayor que $n-k$.

Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Demostrar que el entero \[a^2+\left\lceil\frac{4a^2}b\right\rceil\] no es un cuadrado. (Aquí $\lceil z\rceil$ denota el menor entero mayor o igual que $z$ . )

Demuestre que existe una constante $c>0$ e infinitos enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: hay infinitos enteros positivos que no se pueden expresar como la suma de menos de $cn\log(n)$ potencias $n$ - ésimas coprimas por pares.

Sea $H = \{ \lfloor i\sqrt{2}\rfloor : i \in \mathbb Z_{>0}\} = \{1,2,4,5,7,\dots \}$ y sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existe una constante $C$ tal que, si $A\subseteq \{1,2,\dots, n\}$ satisface $|A| \ge C\sqrt{n}$ , entonces existen $a,b\in A$ tales que $a-b\in H$ . (Aquí $\mathbb Z_{>0}$ es el conjunto de los enteros positivos, y $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z$ .)

Sea $a$ un entero positivo. Decimos que un entero positivo $b$ es $a$ - bueno si $\tbinom{an}{b}-1$ es divisible por $an+1$ para todos los enteros positivos $n$ con $an \geq b$. Suponga que $b$ es un entero positivo tal que $b$ es $a$ - bueno, pero $b+2$ no es $a$ - bueno. Demuestre que $b+1$ es primo.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb Z_{>0}\to \mathbb Z_{>0}$ tales que $a+f(b)$ divide a $a^2+bf(a)$ para todos los enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b>2019$.