Decimos que un conjunto $S$ de enteros es _rootiful_ si, para cualquier entero positivo $n$ y cualesquiera $a_0, a_1, \cdots, a_n \in S$, todas las raíces enteras del polinomio $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ también están en $S$. Encuentra todos los conjuntos _rootiful_ de enteros que contengan todos los números de la forma $2^a - 2^b$ para enteros positivos $a$ y $b$.

Encuentra todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que $a^3 + b^3 + c^3 = (abc)^2$.

Encuentra todos los pares $(k,n)$ de enteros positivos tales que \[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). \]

Sea $\mathcal L$ el conjunto de todas las líneas en el plano y sea $f$ una función que asigna a cada línea $\ell\in\mathcal L$ un punto $f(\ell)$ en $\ell$ . Suponga que para cualquier punto $X$ , y para cualesquiera tres líneas $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ que pasan por $X$ , los puntos $f(\ell_1),f(\ell_2),f(\ell_3)$ , y $X$ se encuentran en un círculo. Demuestra que existe un único punto $P$ tal que $f(\ell)=P$ para cualquier línea $\ell$ que pasa por $P$.

Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. La circunferencia inscrita $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC, CA$ , y $AB$ en $D, E,$ y $F$ , respectivamente. La línea que pasa por $D$ perpendicular a $EF$ se encuentra con $\omega$ en $R$ . La línea $AR$ se encuentra con $\omega$ de nuevo en $P$ . Las circunferencias circunscritas del triángulo $PCE$ y $PBF$ se encuentran de nuevo en $Q$ . Demuestra que las líneas $DI$ y $PQ$ se encuentran en la línea que pasa por $A$ perpendicular a $AI$.

Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$. Sea la circunferencia inscrita que se encuentra con $BC, CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F,$ respectivamente. Sea la recta $EF$ que se interseca con la circunferencia circunscrita del triángulo en $P$ y $Q$ , tal que $F$ está entre $E$ y $P$ . Demostrar que $\angle DPA + \angle AQD =\angle QIP$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo con $CD= DE$ y $\angle EDC \ne 2 \cdot \angle ADB$. Suponga que un punto $P$ está situado en el interior del pentágono tal que $AP =AE$ y $BP= BC$. Demostrar que $P$ está en la diagonal $CE$ si y sólo si area $(BCD)$ + area $(ADE)$ = area $(ABD)$ + area $(ABP)$.

Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$. Sea $AP$ que se encuentra con $BC$ en $A_1$, sea $BP$ que se encuentra con $CA$ en $B_1$, y sea $CP$ que se encuentra con $AB$ en $C_1$. Sea $A_2$ el punto tal que $A_1$ es el punto medio de $PA_2$, sea $B_2$ el punto tal que $B_1$ es el punto medio de $PB_2$, y sea $C_2$ el punto tal que $C_1$ es el punto medio de $PC_2$. Demostrar que los puntos $A_2, B_2$ y $C_2$ no pueden estar todos estrictamente dentro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

En el triángulo $ABC$, el punto $A_1$ está en el lado $BC$ y el punto $B_1$ está en el lado $AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sea $P_1$ un punto en la recta $PB_1$, tal que $B_1$ está estrictamente entre $P$ y $P_1$, y $\angle PP_1C=\angle BAC$. Del mismo modo, sea $Q_1$ el punto en la recta $QA_1$, tal que $A_1$ está estrictamente entre $Q$ y $Q_1$, y $\angle CQ_1Q=\angle CBA$. Demostrar que los puntos $P,Q,P_1$ y $Q_1$ son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A, B$ y $C$ a los lados $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. Denotemos por $\omega_B$ y $\omega_C$ las circunferencias inscritas de los triángulos $BDF$ y $CDE$, y sean estas circunferencias tangentes a los segmentos $DF$ y $DE$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sea la recta $MN$ que se encuentra con las circunferencias $\omega_B$ y $\omega_C$ de nuevo en $P \ne M$ y $Q \ne N$, respectivamente. Demostrar que $MP = NQ$.