Sea $ABC$ un triángulo. El círculo $\Gamma$ pasa por $A$, se encuentra con los segmentos $AB$ y $AC$ nuevamente en los puntos $D$ y $E$ respectivamente, e interseca el segmento $BC$ en $F$ y $G$ de tal manera que $F$ se encuentra entre $B$ y $G$. La tangente al círculo $BDF$ en $F$ y la tangente al círculo $CEG$ en $G$ se encuentran en el punto $T$. Suponga que los puntos $A$ y $T$ son distintos. Demuestra que la línea $AT$ es paralela a $BC$.

Para dos números reales diferentes $x$ e $y$, definimos $D(x,y)$ como el único entero $d$ que satisface $2^d\le |x-y| < 2^{d+1}$. Dado un conjunto de reales $\mathcal F$, y un elemento $x\in \mathcal F$, decimos que las escalas de $x$ en $\mathcal F$ son los valores de $D(x,y)$ para $y\in\mathcal F$ con $x\neq y$. Sea $k$ un entero positivo dado. Supongamos que cada miembro $x$ de $\mathcal F$ tiene como máximo $k$ escalas diferentes en $\mathcal F$ (tenga en cuenta que estas escalas pueden depender de $x$). ¿Cuál es el tamaño máximo posible de $\mathcal F$?

Alicia tiene un mapa de Wonderland, un país que consta de $n \geq 2$ ciudades. Para cada par de ciudades, hay una carretera estrecha que va de una ciudad a la otra. Un día, todas las carreteras se declaran de 'una sola vía'. Alicia no tiene información sobre la dirección de las carreteras, pero el Rey de Corazones se ha ofrecido a ayudarla. Se le permite hacerle una serie de preguntas. Para cada pregunta a su vez, Alicia elige un par de ciudades y el Rey de Corazones le dice la dirección de la carretera que conecta esas dos ciudades. Alicia quiere saber si hay al menos una ciudad en Wonderland con como máximo una carretera saliente. Demuestra que siempre puede averiguarlo haciendo como máximo $4n$ preguntas.

Hay 60 cajas vacías $B_1,\ldots,B_{60}$ en una fila sobre una mesa y un suministro ilimitado de guijarros. Dado un entero positivo $n$, Alicia y Bob juegan el siguiente juego. En la primera ronda, Alicia toma $n$ guijarros y los distribuye en las 60 cajas como desee. Cada ronda subsiguiente consta de dos pasos:\n(a) Bob elige un entero $k$ con $1\leq k\leq 59$ y divide las cajas en los dos grupos $B_1,\ldots,B_k$ y $B_{k+1},\ldots,B_{60}$.\n(b) Alicia elige uno de estos dos grupos, agrega un guijarro a cada caja en ese grupo y quita un guijarro de cada caja en el otro grupo.\nBob gana si, al final de cualquier ronda, alguna caja no contiene guijarros.\nEncuentra el $n$ más pequeño tal que Alicia pueda evitar que Bob gane.

Sea $n>1$ un entero. Supongamos que se nos dan $2n$ puntos en el plano tal que no hay tres de ellos colineales. Los puntos deben ser etiquetados $A_1, A_2, \dots , A_{2n}$ en algún orden. Luego consideramos los $2n$ ángulos $\angle A_1A_2A_3, \angle A_2A_3A_4, \dots , \angle A_{2n-2}A_{2n-1}A_{2n}, \angle A_{2n-1}A_{2n}A_1, \angle A_{2n}A_1A_2$. Medimos cada ángulo de la forma que da el valor positivo más pequeño (i.e. entre $0^{\circ}$ y $180^{\circ}$). Demuestra que existe un ordenamiento de los puntos dados tal que los $2n$ ángulos resultantes se puedan separar en dos grupos con la suma de un grupo de ángulos igual a la suma del otro grupo.

Una red social tiene $2019$ usuarios, algunos pares de los cuales son amigos. Siempre que el usuario $A$ es amigo del usuario $B$, el usuario $B$ también es amigo del usuario $A$. Eventos del siguiente tipo pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez: Tres usuarios $A$, $B$ y $C$ tal que $A$ es amigo tanto de $B$ como de $C$, pero $B$ y $C$ no son amigos, cambian sus estados de amistad tal que $B$ y $C$ son ahora amigos, pero $A$ ya no es amigo de $B$ y ya no es amigo de $C$. Todos los demás estados de amistad se mantienen sin cambios. Inicialmente, $1010$ usuarios tienen $1009$ amigos cada uno, y $1009$ usuarios tienen $1010$ amigos cada uno. Demuestra que existe una secuencia de tales eventos después de que cada usuario es amigo de a lo sumo otro usuario.

La secuencia infinita $a_0, a _1, a_2, \dots$ de enteros (no necesariamente distintos) tiene las siguientes propiedades: $0\le a_i \le i$ para todos los enteros $i\ge 0$ , y\n\[\binom{k}{a_0} + \binom{k}{a_1} + \dots + \binom{k}{a_k} = 2^k\] para todos los enteros $k\ge 0$ . Demuestre que todos los enteros $N\ge 0$ ocurren en la secuencia (es decir, para todo $N\ge 0$ , existe $i\ge 0$ con $a_i=N$ ).

Sea $\mathbb Z$ el conjunto de los enteros. Consideramos funciones $f :\mathbb Z\to\mathbb Z$ que satisfacen\n\[f\left(f(x+y)+y\right)=f\left(f(x)+y\right)\] para todos los enteros $x$ e $y$ . Para tal función, decimos que un entero $v$ es f-raro si el conjunto\n\[X_v=\{x\in\mathbb Z:f(x)=v\}\] es finito y no vacío.\n(a) Demuestre que existe tal función $f$ para la cual hay un entero $f$ - raro.\n(b) Demuestre que ninguna función $f$ puede tener más de un entero $f$ - raro.

Un polinomio $P(x, y, z)$ en tres variables con coeficientes reales satisface las identidades\n$$P(x, y, z)=P(x, y, xy-z)=P(x, zx-y, z)=P(yz-x, y, z).$$ Demuestre que existe un polinomio $F(t)$ en una variable tal que $$P(x,y,z)=F(x^2+y^2+z^2-xyz).$$

Sean $x_1, x_2, \dots, x_n$ números reales diferentes. Demuestre que \[\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \prod_{j \neq i} \frac{1-x_{i} x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\left\{\begin{array}{ll}\n0, & \text { si } n \text { es par; } \\\n1, & \text { si } n \text { es impar. }\n\end{array}\right.\]