En un plano llano en Camelot, el Rey Arturo construye un laberinto $\mathfrak{L}$ que consiste de $n$ muros, cada uno de los cuales es una línea recta infinita. No hay dos muros paralelos, y no hay tres muros que tengan un punto en común. Merlín entonces pinta un lado de cada muro completamente de rojo y el otro lado completamente de azul. En la intersección de dos muros hay cuatro esquinas: dos esquinas diagonalmente opuestas donde un lado rojo y un lado azul se encuentran, una esquina donde dos lados rojos se encuentran, y una esquina donde dos lados azules se encuentran. En cada intersección, hay una puerta bidireccional que conecta las dos esquinas diagonalmente opuestas en las cuales lados de diferentes colores se encuentran. Después de que Merlín pinta los muros, Morgana entonces coloca algunos caballeros en el laberinto. Los caballeros pueden caminar a través de puertas, pero no pueden caminar a través de muros. Sea $k(\mathfrak{L})$ el número más grande $k$ tal que, no importa cómo Merlín pinte el laberinto $\mathfrak{L}$, Morgana siempre puede colocar al menos $k$ caballeros tal que ninguno de ellos se pueda encontrar. Para cada $n$, ¿cuáles son todos los valores posibles para $k(\mathfrak{L})$, donde $\mathfrak{L}$ es un laberinto con $n$ muros?

El Banco de Bath emite monedas con una $H$ en una cara y una $T$ en la otra. Harry tiene $n$ de estas monedas dispuestas en una línea de izquierda a derecha. Él realiza repetidamente la siguiente operación: si hay exactamente $k>0$ monedas mostrando $H$, entonces él voltea la moneda número $k$ desde la izquierda; de lo contrario, todas las monedas muestran $T$ y él se detiene. Por ejemplo, si $n=3$ el proceso comenzando con la configuración $THT$ sería $THT \to HHT \to HTT \to TTT$, que se detiene después de tres operaciones.\n(a) Muestra que, para cada configuración inicial, Harry se detiene después de un número finito de operaciones.\n(b) Para cada configuración inicial $C$, sea $L(C)$ el número de operaciones antes de que Harry se detenga. Por ejemplo, $L(THT) = 3$ y $L(TTT) = 0$. Determina el valor promedio de $L(C)$ sobre todas las $2^n$ posibles configuraciones iniciales $C$.

Se te da un conjunto de $n$ bloques, cada uno pesando al menos $1$; su peso total es $2n$. Demuestra que para cada número real $r$ con $0 \leq r \leq 2n-2$ puedes elegir un subconjunto de los bloques cuyo peso total sea al menos $r$ pero a lo sumo $r + 2$.

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. Determine todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$ , $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$

Determina las fracciones más grandes y más pequeñas $F = \frac{y-x}{x+4y}$ si los números reales $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $x^2y^2 + xy + 1 = 3y^2$.

Hay el número $1$ en la pizarra al principio. Si el número $a$ está escrito en la pizarra, entonces también podemos escribir un número natural $b$ tal que $a + b + 1$ es un divisor de $a^2 + b^2 + 1$. ¿Puede aparecer cualquier entero positivo en la pizarra después de un cierto tiempo? Justifica tu respuesta.

El punto $M$ es el punto medio del lado $AB$ de un triángulo acutángulo $ABC$. El círculo con centro $M$ que pasa por el punto $C$, interseca las líneas $AC ,BC$ por segunda vez en los puntos $P,Q$ respectivamente. El punto $R$ se encuentra en el segmento $AB$ de tal manera que los triángulos $APR$ y $BQR$ tienen áreas iguales. Demuestra que las líneas $PQ$ y $CR$ son perpendiculares.

Encuentra todos los enteros $n$ cuando $|n^3 - 4n^2 + 3n - 35|$ y $|n^2 + 4n + 8|$ son números primos.

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle BAD<90^o$ y $AB> BC$. La bisectriz del ángulo $BAD$ interseca la línea $CD$ en el punto $P$ y la línea $BC$ en el punto $Q$. Demuestra que el centro del círculo circunscrito alrededor del triángulo $CPQ$ es equidistante de los puntos $B$ y $D$.

El conjunto de $\{1,2,3,...,63\}$ se dividió en tres conjuntos no vacíos disjuntos $A,B$. Sean $a,b,c$ el producto de todos los números en cada conjunto $A,B,C$ respectivamente y finalmente hemos determinado el máximo común divisor de estos tres productos. ¿Cuál fue el resultado más grande que pudimos obtener?