Suponga que un número real $a$ es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$. Sea $G=|a_n|+|a_{n-1}|+...+|a_1|+|a_0|$. Decimos que $G$ es un 'gingado' de $a$. Por ejemplo, como $2$ es raíz de $P(x)=x^2-x-2$, $G=|1|+|-1|+|-2|=4$, decimos que $4$ es un 'gingado' de $2$. ¿Cuál es el cuarto número real $a$ más grande tal que $3$ es un 'gingado' de $a$?

El círculo $\omega_1$ intersecta al círculo $\omega_2$ en los puntos $A$ y $B$, una línea tangente a estos círculos intersecta a $\omega_1$ y $\omega_2$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Suponga que $A$ está dentro del triángulo $BEF$, sea $H$ el ortocentro de $BEF$ y $M$ el punto medio de $BH$. Demuestre que los centros de los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ y el punto $M$ son colineales.

Consideremos $10$ enteros positivos distintos que son primos entre sí (es decir, no hay un factor primo común a todos), pero tales que dos cualesquiera de ellos no son primos entre sí. ¿Cuál es el número más pequeño de factores primos distintos que pueden aparecer en el producto de los $10$ números?

Demostrar que para cada entero positivo $n$ , existe un entero positivo $k$ tal que la representación decimal de cada uno de los números $k, 2k,\ldots, nk$ contiene todos los dígitos $0, 1, 2,\ldots, 9$ .

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo que satisface todo lo siguiente: Hay un círculo $\Gamma$ tangente a cada uno de los lados. Las longitudes de los lados son todos enteros positivos. Al menos uno de los lados del pentágono tiene longitud $1$ . El lado $AB$ tiene longitud $2$ . Sea $P$ el punto de tangencia de $\Gamma$ con $AB$ . (a) Determinar las longitudes de los segmentos $AP$ y $BP$ . (b) Dar un ejemplo de un pentágono que satisfaga las condiciones dadas.

Algunas celdas de una tabla de $2007\times 2007$ están coloreadas. La tabla es charrúa si ninguna de las filas y ninguna de las columnas están completamente coloreadas. (a) ¿Cuál es el número máximo $k$ de celdas coloreadas que puede tener una tabla charrúa? (b) Para tal $k$ , calcular el número de tablas charrúas distintas que existen.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$ , $BE$ , $CF$ donde $D$ , $E$ , $F$ están en $BC$ , $AC$ , $AB$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $AEF$ corta la línea $AM$ en $A$ y $X$ . La línea $AM$ corta la línea $CF$ en $Y$ . Sea $Z$ el punto de intersección de $AD$ y $BX$ . Demostrar que las líneas $YZ$ y $BC$ son paralelas.

Se dan $100$ enteros positivos cuya suma es igual a su producto. Determinar el número mínimo de $1$ que pueden aparecer entre los $100$ números.

Hallar todos los pares $(x,y)$ de enteros no negativos que satisfacen \[x^3y+x+y=xy+2xy^2.\]

Cuatro sabios están de pie alrededor de un baobab no transparente. Cada uno de los sabios lleva un sombrero rojo, azul o verde. Un sabio solo ve a sus dos vecinos. Cada uno de ellos al mismo tiempo debe adivinar el color de su sombrero. Si al menos un sabio adivina correctamente, los sabios ganan. Podrían consultar antes de que comenzara el juego. ¿Cómo deberían actuar para ganar?