Para cada entero $a_0 > 1$, define la secuencia $a_0, a_1, a_2, \ldots$ para $n \geq 0$ como\n$$a_{n+1} = \n\begin{cases}\n\sqrt{a_n} & \text{si } \sqrt{a_n} \text{ es un entero,} \\\na_n + 3 & \text{en otro caso.}\n\end{cases}\n$$\nDetermine todos los valores de $a_0$ tales que existe un número $A$ tal que $a_n = A$ para infinitos valores de $n$.

Para $m = 1, 2, 3, ...$ denotar $S(m)$ la suma de los dígitos de $m$ , y sea $f(m)=m+S(m)$ . Muestre que para cada entero positivo $n$ , existe un número que aparece exactamente $n$ veces en la secuencia $f(1),f(2),...,f(m),...$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con centroide $G$ , la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a $AC$ en $D$ . Sean $P$ y $Q$ puntos en $BD$ donde $\angle PBA = \angle PAB$ y $\angle QBC = \angle QCB$ . Sea $M$ el punto medio de $QP$ , sea $N$ un punto en la línea $GM$ tal que $GN = 2GM$ ( donde $G$ es el segmento $MN$ ) , demuestre que: $\angle ANC + \angle ABC = 180$

Hallar todas las funciones $f: R \to R$ tales que, para cualquier $x, y \in R$ : $f\left( f\left( x \right)-y \right)\cdot f\left( x+f\left( y \right) \right)={{x}^{2}}-{{y}^{2}}$

Para cada entero $n > 1$ , la sucesión $\left( {{S}_{n}} \right)$ se define por ${{S}_{n}}=\left\lfloor {{2}^{n}}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\_{n\ radicals} \right\rfloor $ donde $\left\lfloor x \right\rfloor$ denota la función piso de $x$ . Demuestre que ${{S}_{2001}}=2\,{{S}_{2000}}+1$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $A_1, B_1$ y $C_1$ , puntos en los lados $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente, tales que $CB_1 = A_1B_1$ y $BC_1 = A_1C_1$ . Sea $D$ el simétrico de $A_1$ con respecto a $B_1C_1, O$ y $O_1$ son los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ , respectivamente. Si $A \ne D, O \ne O_1$ y $AD$ es perpendicular a $OO_1$ , demuestre que $AB = AC$ .

Hallar todos los números enteros $a, b, m$ y $n$ , tales que las siguientes dos igualdades se verifican: $a^2+b^2=5mn$ y $m^2+n^2=5ab$

Demostrar que cualquier potencia positiva de $2$ se puede escribir como: $$5xy-x^2-2y^2$$ donde $x$ e $y$ son números impares.

Una secuencia numérica se llama lusófona si satisface las siguientes tres condiciones: \ni) El primer término de la secuencia es el número $1$. \nii) Para obtener el siguiente término de la secuencia podemos multiplicar el término anterior por un número primo positivo ( $2,3,5,7,11, ...$ ) o sumar $1$. \niii) El último término de la secuencia es el número $2016$. Por ejemplo: $1\overset{{\times 11}}{\to}11 \overset{{\times 61}}{\to} 671 \overset{{+1}}{\to}672 \overset{{\times 3}}{\to}2016$ ¿Cuántas secuencias lusófonas existen en las que (como en el ejemplo anterior) la operación de sumar $1$ se utilizó exactamente una vez y no se multiplicó dos veces por el mismo número primo?

$8$ equipos de fútbol de la CPLP compitieron en un campeonato en el que cada equipo jugó una y sólo una vez con cada uno de los demás equipos. En el fútbol, cada victoria vale $3$ puntos, cada empate vale $1$ punto y el equipo derrotado no marca. En ese campeonato, cuatro equipos quedaron en primer lugar con $15$ puntos y los otros cuatro quedaron en segundo lugar con $N$ puntos cada uno. Sabiendo que hubo $12$ empates en todo el campeonato, determine $N$.